Упр.12 ГДЗ Атанасян 10-11 класс по геометрии (Геометрия)

Точки $$A$$, $$B$$, $$C$$, $$D$$ не лежат в одной плоскости. Пересекаются ли плоскости, проходящие через точки $$A$$, $$B$$, $$C$$ и $$A$$, $$B$$, $$D$$?

Из условия следует, что никакие три точки не лежат на одной прямой: иначе через эту прямую и оставшуюся точку можно было бы провести плоскость, что противоречит условию.

Тогда точки $$A, B, C$$ не лежат на одной прямой, значит, существует единственная плоскость $$\alpha$$, проходящая через них: $$A, B, C \in \alpha.$$

По аксиоме о том, что если две точки прямой принадлежат плоскости, то вся прямая принадлежит этой плоскости, получаем:

$$AB \subset \alpha.$$

Аналогично точки $$A, B, D$$ не лежат на одной прямой, значит, существует единственная плоскость $$\beta$$, проходящая через них: $$A, B, D \in \beta.$$

Следовательно,

$$AB \subset \beta.$$

Итак, прямая $$AB$$ принадлежит обеим плоскостям, значит,

$$AB=\alpha \cap \beta.$$

Следовательно, плоскости $$\alpha$$ и $$\beta$$ пересекаются по прямой $$AB$$.

Ответ: да, пересекаются; линия пересечения — прямая $$AB$$.