Упр.119 ГДЗ Атанасян 10-11 класс по геометрии (Геометрия)

Задача

Прямая $$OA$$ перпендикулярна к плоскости $$OBC$$, и точка $$O$$ является серединой отрезка $$AD$$. Докажите, что: а) $$AB=DB$$; б) $$AB=AC$$, если $$OB=OC$$; в) $$OB=OC$$, если $$AB=AC$$.

Подробный ответ

а) Рассмотрим треугольник $$ABD$$. Так как $$OA \perp (OBC)$$, а точки $$B$$ и $$O$$ лежат в плоскости $$OBC$$, то $$OA \perp OB$$. Поскольку точки $$A, O, D$$ лежат на одной прямой, имеем $$AD \perp OB$$. Значит, $$OB$$ — высота треугольника $$ABD$$. По условию $$O$$ — середина отрезка $$AD$$, следовательно, $$OB$$ — также медиана треугольника $$ABD$$. Тогда треугольник $$ABD$$ равнобедренный, и потому

$$AB=DB.$$

б) Рассмотрим треугольники $$AOB$$ и $$AOC$$. Так как $$OA \perp (OBC)$$, то $$OA \perp OB$$ и $$OA \perp OC$$, значит, $$\angle AOB=\angle AOC=90^\circ$$. Кроме того, $$AO$$ — общая сторона, а по условию $$OB=OC$$. Следовательно, $$\triangle AOB \cong \triangle AOC$$ по двум катетам. Отсюда

$$AB=AC.$$

в) Рассмотрим треугольники $$AOB$$ и $$AOC$$. Имеем $$\angle AOB=\angle AOC=90^\circ$$, $$AO$$ — общая сторона, а по условию $$AB=AC$$. Тогда прямоугольные треугольники $$AOB$$ и $$AOC$$ равны по гипотенузе и катету. Следовательно,

$$OB=OC.$$