Упр.116 ГДЗ Атанасян 10-11 класс по геометрии (Геометрия)

1. Дан параллелепипед $$ABCDA_1B_1C_1D_1$$. Докажите, что:
   а) $$DC \perp B_1C_1$$ и $$AB \parallel A_1B_1$$, если $$\angle BAD=90^\circ$$;
   б) $$AB \perp CC_1$$ и $$DD_1 \perp A_1B_1$$, если $$AB \perp DD_1$$.

Пусть дан параллелепипед $$ABCDA_1B_1C_1D_1.$$ Тогда его противоположные грани — параллелограммы, а значит,

$$AB \parallel CD,\quad BC \parallel AD,\quad A_1B_1 \parallel AB,\quad B_1C_1 \parallel BC,\quad DD_1 \parallel CC_1,\quad AA_1 \parallel BB_1.$$

а)

Если $$\angle BAD=90^\circ,$$ то параллелограмм $$ABCD$$ является прямоугольником. Следовательно,

$$AB \perp AD,\quad AB \perp BC,\quad DC \parallel AB.$$

Рассмотрим грань $$BB_1C_1C.$$ Это параллелограмм, поэтому

$$B_1C_1 \parallel BC.$$

Так как $$DC \perp BC$$ и $$B_1C_1 \parallel BC,$$ то

$$DC \perp B_1C_1.$$

Теперь рассмотрим грань $$AA_1D_1D.$$ Здесь

$$A_1D_1 \parallel AD.$$

Из $$AB \perp AD$$ и $$AD \parallel A_1D_1$$ получаем

$$AB \perp A_1D_1.$$

б)

Пусть $$AB \perp DD_1.$$ Так как $$DD_1 \parallel CC_1,$$ то

$$AB \perp CC_1.$$

Рассмотрим грань $$AA_1B_1B.$$ Это параллелограмм, значит

$$A_1B_1 \parallel AB.$$

Из $$AB \perp DD_1$$ и $$AB \parallel A_1B_1$$ следует, что

$$A_1B_1 \perp DD_1.$$

Следовательно, и $$DD_1 \perp A_1B_1.$$

Итак, доказано: $$DC \perp B_1C_1,$$ $$AB \perp A_1D_1,$$ $$AB \perp CC_1,$$ $$DD_1 \perp A_1B_1.$$