Упр.116 ГДЗ Атанасян 10-11 класс по геометрии (Геометрия)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Атанасян, Бутузов, Кадомцев 11 класс, Просвещение: Дан параллелепипед ABCDA1B1C1D1. Докажите, что: а) DC 1 B1C1 и AB IA1B1, если ZBAD = 90°; б) AB ± CC1 и DD1 1 A1B1, если AB 1 DD1.

Рассмотрим параллелепипед $$ABCDA_1B_1C_1D_1$$. В параллелепипеде противоположные грани параллельны, а соответствующие рёбра параллельны:

$$AB \parallel A_1B_1,\quad BC \parallel B_1C_1,\quad AD \parallel A_1D_1,\quad DD_1 \parallel CC_1.$$

а) Если $$\angle BAD=90^\circ$$, то параллелограмм $$ABCD$$ является прямоугольником. Значит,

$$\angle BCD=90^\circ,$$

то есть $$DC \perp BC$$. Но $$BC \parallel B_1C_1$$, следовательно,

$$DC \perp B_1C_1.$$

Теперь рассмотрим параллелограмм $$AA_1D_1D$$. В нём $$AD \parallel A_1D_1$$. Так как $$AB \perp AD$$ и $$AD \parallel A_1D_1$$, то

$$AB \perp A_1D_1.$$

Следовательно, доказано, что

$$DC \perp B_1C_1,\qquad AB \perp A_1D_1.$$

б) Пусть $$AB \perp DD_1$$. Так как $$DD_1 \parallel CC_1$$, то из перпендикулярности к одной из параллельных прямых следует

$$AB \perp CC_1.$$

Рассмотрим параллелограмм $$DCC_1D_1$$. В нём $$DC \parallel AB$$, а значит, из условия $$AB \perp DD_1$$ получаем

$$DC \perp DD_1.$$

Но $$DD_1 \parallel CC_1$$, поэтому

$$DC \perp CC_1.$$

Теперь рассмотрим параллелограмм $$AA_1B_1B$$. Здесь $$AB \parallel A_1B_1$$ и $$AB \perp DD_1$$. Так как $$DD_1 \parallel AA_1$$, то

$$AB \perp AA_1.$$

Следовательно, $$A_1B_1 \parallel AB$$ и $$AA_1 \perp AB$$, значит

$$AA_1 \perp A_1B_1.$$

Так как $$DD_1 \parallel AA_1$$, то получаем

$$DD_1 \perp A_1B_1.$$

Итак, доказано, что

$$AB \perp CC_1,\qquad DD_1 \perp A_1B_1.$$

Ответ

а) $$DC \perp B_1C_1$$, $$AB \perp A_1D_1$$; б) $$AB \perp CC_1$$, $$DD_1 \perp A_1B_1$$.