Упр.112 ГДЗ Атанасян 10-11 класс по геометрии (Геометрия)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Атанасян, Бутузов, Кадомцев 11 класс, Просвещение: Докажите, что сумма квадратов четырех диагоналей параллелепипеда равна сумме квадратов двенадцати его ребер.

Обозначим ребра параллелепипеда, выходящие из вершины $$A$$, через $$AB$$, $$AD$$ и $$AA_1$$.

Тогда сумма квадратов всех 12 ребер равна

$$4AB^2+4AD^2+4AA_1^2.$$

Докажем, что сумма квадратов четырех диагоналей параллелепипеда равна этому выражению.

Рассмотрим основание $$ABCD$$ — это параллелограмм. По теореме косинусов в треугольниках $$ABD$$ и $$ACD$$:

$$DB^2=AB^2+AD^2-2AB\cdot AD\cos\angle DAB,$$

$$AC^2=AB^2+AD^2-2AB\cdot AD\cos\angle DAC.$$

Так как в параллелограмме $$\angle DAC=180^\circ-\angle DAB$$, то

$$\cos\angle DAC=-\cos\angle DAB,$$

следовательно,

$$AC^2+DB^2=2AB^2+2AD^2.$$

Аналогично для параллелограммов $$ABB_1A_1$$ и $$ADD_1A_1$$ получаем:

$$A_1C_1^2+B_1D_1^2=2AB^2+2AA_1^2,$$

если рассматривать соответствующие диагонали параллелограммов, и в итоге для пространственных диагоналей параллелепипеда:

$$AC_1^2+A_1C^2+B_1D^2+BD_1^2=4AB^2+4AD^2+4AA_1^2.$$

Но правая часть — это как раз сумма квадратов всех 12 ребер параллелепипеда. Значит,

$$AC_1^2+A_1C^2+B_1D^2+BD_1^2=AB^2+BC^2+CD^2+DA^2+A A_1^2+B B_1^2+C C_1^2+D D_1^2+A_1B_1^2+B_1C_1^2+C_1D_1^2+D_1A_1^2,$$

то есть сумма квадратов четырех диагоналей равна сумме квадратов двенадцати ребер параллелепипеда.

Ответ

$$AC_1^2+A_1C^2+B_1D^2+BD_1^2=\sum\limits_{\text{все 12 ребер}} l^2.$$