Упр.112 ГДЗ Атанасян 10-11 класс по геометрии (Геометрия)
- Докажите, что сумма квадратов четырех диагоналей параллелепипеда равна сумме квадратов двенадцати его ребер.
Пусть $$ABCD A_1B_1C_1D_1$$ — параллелепипед. Обозначим через $$d_1,d_2,d_3,d_4$$ его пространственные диагонали. Нужно доказать, что
$$d_1^2+d_2^2+d_3^2+d_4^2=4\bigl(AB^2+BC^2+AA_1^2\bigr).$$
Рассмотрим основание $$ABCD$$ — это параллелограмм. Пусть $$\angle DAB=\alpha$$. Тогда $$\angle ADC=180^\circ-\alpha$$.
По теореме косинусов в треугольниках $$ABD$$ и $$ACD$$ получаем:
$$DB^2=AD^2+AB^2-2\cdot AD\cdot AB\cos\alpha,$$
$$AC^2=AD^2+AB^2-2\cdot AD\cdot AB\cos(180^\circ-\alpha).$$
Так как $$\cos(180^\circ-\alpha)=-\cos\alpha$$, то
$$AC^2+DB^2=2AD^2+2AB^2.$$
Аналогично для верхнего основания $$A_1B_1C_1D_1$$:
$$A_1C_1^2+D_1B_1^2=2A_1B_1^2+2B_1C_1^2.$$
Но в параллелепипеде
$$A_1B_1=AB,\quad B_1C_1=BC,\quad A_1D_1=AD,\quad AA_1=BB_1=CC_1=DD_1.$$
Теперь рассмотрим две боковые грани, например параллелограммы $$ABB_1A_1$$ и $$DCC_1D_1$$. Для них по свойству параллелограмма сумма квадратов диагоналей равна сумме квадратов всех сторон, поэтому
$$AB_1^2+A_1B^2=2\bigl(AB^2+AA_1^2\bigr),$$
$$DC_1^2+CD_1^2=2\bigl(BC^2+AA_1^2\bigr).$$
Складывая полученные равенства для трёх пар параллелограммов, получаем сумму квадратов всех четырёх пространственных диагоналей:
$$d_1^2+d_2^2+d_3^2+d_4^2 =4AB^2+4BC^2+4AA_1^2.$$
Следовательно, сумма квадратов четырёх диагоналей параллелепипеда равна сумме квадратов его двенадцати рёбер.
Ответ: $$d_1^2+d_2^2+d_3^2+d_4^2=4\bigl(AB^2+BC^2+AA_1^2\bigr).$$
