Упр.111 ГДЗ Атанасян 10-11 класс по геометрии (Геометрия)

1. Докажите, что диагональ параллелепипеда меньше суммы трех рёбер, имеющих общую вершину.

Пусть дан параллелепипед $$ABCD A_1B_1C_1D_1$$. Докажем, что его диагональ $$AC_1$$ меньше суммы трёх рёбер, выходящих из вершины $$A$$.

Рассмотрим треугольник $$ABC$$. По неравенству треугольника

$$AC<AB+BC.$$

Так как $$ABCD A_1B_1C_1D_1$$ — параллелепипед, то $$BC=AD$$. Значит,

$$AC<AB+AD.$$

Теперь рассмотрим треугольник $$ACC_1$$. По неравенству треугольника

$$AC_1<AC+CC_1.$$

Но $$CC_1=AA_1$$, поэтому

$$AC_1<AC+AA_1.$$

Подставляя сюда оценку для $$AC$$, получаем

$$AC_1<AB+AD+AA_1.$$

Следовательно, диагональ параллелепипеда меньше суммы трёх рёбер, имеющих общую вершину.