Упр.110 ГДЗ Атанасян 10-11 класс по геометрии (Геометрия)

Докажите, что в параллелепипеде $$ABCDA_1B_1C_1D_1$$ плоскость $$A_1DB$$ параллельна плоскости $$D_1CB_1$$.

Рассмотрим четырёхугольники $$BB_1D_1D$$ и $$CB_1A_1D.$$

Так как $$ABCDA_1B_1C_1D_1$$ — параллелепипед, то его противоположные рёбра параллельны и равны. Поэтому

$$BB_1 \parallel DD_1,\qquad BB_1=DD_1,$$

следовательно, четырёхугольник $$BB_1D_1D$$ — параллелограмм. Отсюда

$$B_1D_1 \parallel BD.$$

Аналогично, в параллелепипеде

$$A_1B_1 \parallel DC,\qquad A_1B_1=DC,$$

значит, четырёхугольник $$CB_1A_1D$$ — параллелограмм. Тогда

$$CB_1 \parallel A_1D.$$

Итак, в плоскости $$D_1CB_1$$ лежат две пересекающиеся прямые $$D_1B_1$$ и $$CB_1,$$ а в плоскости $$A_1DB$$ — две пересекающиеся прямые $$DB$$ и $$DA_1.$$ При этом

$$D_1B_1 \parallel DB,\qquad CB_1 \parallel DA_1.$$

Следовательно, плоскости $$A_1DB$$ и $$D_1CB_1$$ параллельны.