Подготовка к ЕГЭ Задание 16 Упр.11 ГДЗ Атанасян 10-11 класс по геометрии (Геометрия)

1. Средняя линия трапеции равна $$4$$, углы при одном из оснований равны $$40^\circ$$ и $$50^\circ$$. Найдите основания трапеции, если отрезок, соединяющий середины оснований, равен $$1$$.

Обозначим основания трапеции через $$AD$$ и $$BC$$, а точку пересечения диагоналей и отрезка, соединяющего середины оснований, — через $$K$$.

Так как углы при одном основании равны $$40^\circ$$ и $$50^\circ$$, то в треугольнике с вершиной при боковой стороне получаем прямой угол:

$$\angle P=180^\circ-40^\circ-50^\circ=90^\circ.$$

Рассмотрим прямоугольный треугольник, в котором отрезок $$MN$$ соединяет середины боковых сторон трапеции. Тогда $$MN$$ — средняя линия треугольника, значит

$$KP=\frac{MN}{2}=\frac{4}{2}=2.$$

По условию $$EF=1$$, а точка $$F$$ лежит на отрезке, соединяющем середины оснований, поэтому

$$PF=KP-KF=2-\frac{1}{2}=\frac{3}{2}.$$

В прямоугольном треугольнике получаем

$$AE=DE=PE=PF+EF=\frac{3}{2}+1=\frac{5}{2}.$$

Тогда

$$AD=AE+DE=\frac{5}{2}+\frac{5}{2}=5.$$

Для трапеции $$ABCD$$ средняя линия равна полусумме оснований:

$$MN=\frac{AD+BC}{2}.$$

Подставим $$MN=4$$ и $$AD=5$$:

$$4=\frac{5+BC}{2},$$

$$8=5+BC,$$

$$BC=3.$$

Ответ: $$3$$ и $$5$$.