Подготовка к ЕГЭ Задание 14 Упр.11 ГДЗ Атанасян 10-11 класс по геометрии (Геометрия)

1. Основание прямой четырёхугольной призмы $$ABCDA_1B_1C_1D_1$$ — прямоугольник $$ABCD$$, в котором $$AB=5$$, $$AD=\sqrt{33}$$. Найдите тангенс угла между плоскостью $$AA_1D_1$$ и плоскостью, проходящей через середину ребра $$CD$$ перпендикулярно прямой $$B_1D$$, если расстояние между прямыми $$A_1C_1$$ и $$BD$$ равно $$\sqrt{3}$$.

Обозначим искомый угол между плоскостями через $$\alpha.$$

Так как основание призмы — прямоугольник, то $$AB\perp AD.$$ Кроме того, боковые рёбра призмы перпендикулярны основанию, значит $$AA_1\perp (ABCD).$$

Рассмотрим прямоугольный треугольник $$ADA_1$$:

$$A_1D^2=AA_1^2+AD^2=3+33=36,$$
откуда
$$A_1D=6.$$

Теперь рассмотрим прямоугольный треугольник $$A_1B_1D.$$ В нём

$$A_1B_1=AB=5,$$
поэтому
$$\tan \angle B_1=\frac{A_1D}{A_1B_1}=\frac{6}{5}.$$

Искомый угол между плоскостью $$AA_1D_1$$ и плоскостью, проходящей через середину ребра $$CD$$ перпендикулярно прямой $$B_1D,$$ равен этому углу, следовательно

$$\tan \alpha=\frac{6}{5}.$$

Ответ: $$\frac{6}{5}$$