Подготовка к ЕГЭ Задание 16 Упр.11 ГДЗ Атанасян 10-11 класс по геометрии (Геометрия)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Атанасян, Бутузов, Кадомцев 11 класс, Просвещение: Средняя линия трапеции равна 4, углы при одном из оснований равны 40° и 50°. Найдите основания трапеции, если отрезок, соединяющий середины оснований, равен 1.

Обозначим основания трапеции через $$AD$$ и $$BC$$, а среднюю линию — через $$MN$$. По условию $$MN=4$$, значит

$$MN=\frac{AD+BC}{2}=4,$$

откуда

$$AD+BC=8.$$

Пусть $$E$$ — точка пересечения отрезка, соединяющего середины оснований, с диагональю, как на рисунке. Тогда $$EF=1$$, а в треугольнике, образованном боковыми сторонами трапеции, отрезок, соединяющий середины сторон, равен половине третьей стороны. Следовательно, соответствующий отрезок на средней линии равен $$2$$.

Из прямоугольного треугольника с углами $$40^\circ$$ и $$50^\circ$$ получаем, что разность оснований равна удвоенной проекции боковых сторон на основание, то есть

$$AD-BC=2.$$

Решим систему:

$$ \begin{cases} AD+BC=8,\\ AD-BC=2. \end{cases} $$

Складывая уравнения, находим:

$$2AD=10,\quad AD=5.$$

Тогда

$$BC=8-5=3.$$

Ответ

$$AD=5,\quad BC=3.$$