Подготовка к ЕГЭ Задание 14 Упр.11 ГДЗ Атанасян 10-11 класс по геометрии (Геометрия)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Атанасян, Бутузов, Кадомцев 11 класс, Просвещение: Основание прямой четырёхугольной призмы ABCDA_1B_1C_1D_1 — прямоугольник ABCD, в котором AB=5, AD=v33. Найдите тангенс угла между плоскостью AA_1D_1 и плоскостью, проходящей через середину ребра CD перпендикулярно прямой B_1D, если расстояние между прямыми A_1C_1 и BD равно v3.

Обозначим искомый угол между плоскостями через $$\alpha$$.

Плоскость $$AA_1D_1$$ содержит прямую $$A_1D_1$$, а плоскость, проходящая через середину ребра $$CD$$ перпендикулярно прямой $$B_1D$$, содержит прямую, перпендикулярную $$B_1D$$. Поэтому угол между плоскостями равен углу между прямыми, лежащими в этих плоскостях и перпендикулярными линии их пересечения.

Рассмотрим прямоугольный треугольник $$ADA_1$$. По условию $$AD=\sqrt{33}$$, $$AA_1=\sqrt{3}$$, значит

$$ A_1D^2=AA_1^2+AD^2=3+33=36, $$

откуда

$$A_1D=6.$$

Теперь рассмотрим прямоугольный треугольник $$A_1B_1D$$. Так как основание призмы — прямоугольник, то $$A_1B_1=AB=5$$. Тогда

$$ \tan \alpha=\tan \angle B_1=\frac{A_1D}{A_1B_1}=\frac{6}{5}. $$

Ответ

$$\frac{6}{5}$$