Упр.11 ГДЗ Атанасян 10-11 класс по геометрии (Геометрия)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Атанасян, Бутузов, Кадомцев 11 класс, Просвещение: Даны прямая и точка, не лежащая на этой прямой. Докажите, что все прямые, проходящие через данную точку и пересекающие данную прямую, лежат в одной плоскости.

Возьмём на прямой $$l$$ две различные точки $$C$$ и $$D$$. Так как точка $$A$$ не лежит на прямой $$l$$, то точки $$A, C, D$$ неколлинеарны. По аксиоме стереометрии через три неколлинеарные точки проходит единственная плоскость $$\alpha$$.

Поскольку точки $$C$$ и $$D$$ лежат на прямой $$l$$, то прямая $$l$$ проходит через две точки плоскости $$\alpha$$, значит, $$l \subset \alpha$$.

Теперь пусть $$m$$ — любая прямая, проходящая через точку $$A$$ и пересекающая прямую $$l$$ в точке $$B$$. Тогда $$A \in \alpha$$ и $$B \in l \subset \alpha$$, следовательно, прямая $$m$$, проходящая через две точки плоскости $$\alpha$$, целиком лежит в этой плоскости: $$m \subset \alpha$$.

Значит, все прямые, проходящие через точку $$A$$ и пересекающие прямую $$l$$, лежат в одной и той же плоскости $$\alpha$$.

Ответ: все такие прямые лежат в одной плоскости.