Упр.109 ГДЗ Атанасян 10-11 класс по геометрии (Геометрия)

1. Две плоскости, каждая из которых содержит два боковых ребра параллелепипеда, не принадлежащих одной грани, пересекаются по прямой $$a$$. Докажите, что прямая $$a$$ параллельна боковым рёбрам параллелепипеда и пересекает все его диагонали.

Рассмотрим параллелепипед $$ABCDA_1B_1C_1D_1.$$ Пусть плоскости $$AA_1C_1C$$ и $$BB_1D_1D$$ пересекаются по прямой $$a.$$

Так как в параллелепипеде противоположные грани параллельны, то

$$AA_1 \parallel BB_1,\qquad CC_1 \parallel DD_1.$$

Следовательно, в плоскости $$AA_1C_1C$$ прямая $$a$$ проходит через точки пересечения диагоналей этой грани, а в плоскости $$BB_1D_1D$$ — через точки пересечения диагоналей этой грани. Обозначим эти точки через $$O_1$$ и $$O$$ соответственно. Тогда $$O_1 \in a$$ и $$O \in a.$$

В параллелограмме $$AA_1C_1C$$ отрезок, соединяющий середины его противоположных сторон, параллелен боковым сторонам, значит

$$O_1O \parallel AA_1.$$

Аналогично из параллельности граней $$BB_1D_1D$$ и $$AA_1C_1C$$ получаем, что

$$a \parallel AA_1.$$

Так как все боковые рёбра параллелепипеда попарно параллельны, то

$$a \parallel AA_1 \parallel BB_1 \parallel CC_1 \parallel DD_1.$$

Теперь покажем, что $$a$$ пересекает все диагонали параллелепипеда. Любая диагональ параллелепипеда лежит в одной из плоскостей $$AA_1C_1C$$ или $$BB_1D_1D$$. В каждой из этих плоскостей прямая $$a$$ пересекает диагональ в точке пересечения диагоналей соответствующего параллелограмма. Значит, $$a$$ пересекает все диагонали параллелепипеда.

Итак, прямая $$a$$ параллельна боковым рёбрам параллелепипеда и пересекает все его диагонали.