Упр.108 ГДЗ Атанасян 10-11 класс по геометрии (Геометрия)

Задача

В тетраэдре $$DABC$$ биссектрисы трех углов при вершине $$D$$ пересекают отрезки $$BC$$, $$CA$$ и $$AB$$ соответственно в точках $$A_1$$, $$B_1$$ и $$C_1$$. Докажите, что отрезки $$AA_1$$, $$BB_1$$ и $$CC_1$$ пересекаются в одной точке.

Подробный ответ

Построим на рёбрах $$DA,$$ $$DB,$$ $$DC$$ точки $$A_2,$$ $$B_2,$$ $$C_2$$ так, что

$$DA_2=DB_2=DC_2.$$

Пусть

$$F=DC_1\cap A_2B_2,\qquad A_3=DA_1\cap B_2C_2,\qquad B_3=DB_1\cap A_2C_2.$$

Рассмотрим треугольник $$A_2B_2D.$$ Так как $$DA_2=DB_2,$$ он равнобедренный. Прямая $$DC_1$$ — биссектриса угла при вершине $$D,$$ значит в равнобедренном треугольнике $$A_2B_2D$$ она является и медианой. Следовательно, $$F$$ — середина отрезка $$A_2B_2,$$ то есть

$$A_2F=FB_2.$$

Аналогично, из равенств $$DA_2=DC_2$$ и $$DB_2=DC_2$$ получаем, что в треугольниках $$A_2C_2D$$ и $$B_2C_2D$$ прямые $$DA_1$$ и $$DB_1$$ являются медианами. Поэтому

$$A_3C_2=C_2B_3,\qquad B_3A_2=A_2C_2.$$

Значит, в треугольнике $$A_2B_2C_2$$ точки $$A_3,$$ $$B_3,$$ $$F$$ — середины его сторон, а следовательно, прямые $$A_2A_3,$$ $$B_2B_3,$$ $$C_2F$$ являются медианами этого треугольника. Медианы пересекаются в одной точке; обозначим её через $$Z_2.$$

Тогда плоскости $$A_2DZ_2,$$ $$B_2DZ_2,$$ $$C_2DZ_2$$ пересекаются по прямой $$DZ_2.$$

Но плоскости $$DAA_1,$$ $$DBB_1,$$ $$DCC_1$$ содержат соответственно прямые $$DA_2A_3,$$ $$DB_2B_3,$$ $$DC_2F,$$ а значит, все они проходят через прямую $$DZ_2.$$ Следовательно, их общая линия пересечения проходит через точку $$D$$ и точку $$Z_2.$$

Обозначим эту общую прямую через $$DZ_2.$$ Тогда точки $$AA_1,$$ $$BB_1,$$ $$CC_1$$ лежат в одной плоскости и пересекаются в одной точке $$Z_1$$ на прямой $$DZ_2.$$

Итак, отрезки $$AA_1,$$ $$BB_1$$ и $$CC_1$$ пересекаются в одной точке.