Упр.104 ГДЗ Атанасян 10-11 класс по геометрии (Геометрия)

1. Изобразите тетраэдр $$ABCD$$ и отметьте точку $$M$$ на ребре $$AB$$. Постройте сечение тетраэдра плоскостью, проходящей через точку $$M$$ параллельно прямым $$AC$$ и $$BD$$.

Проведём через точку $$M$$ прямую $$MN$$, параллельную $$AC$$, и прямую $$ME$$, параллельную $$BD$$.

Так как $$AC \parallel MN$$, то прямая $$MN$$ лежит в плоскости сечения и пересекает плоскость $$BCD$$ по прямой, параллельной $$AC$$. Аналогично, в плоскости $$ABD$$ через точку $$M$$ проводим прямую $$MK \parallel BD$$.

Теперь в плоскости $$ACD$$ проведём прямую $$EK \parallel AC$$. Соединим точки $$N$$ и $$K$$. Получим четырёхугольник $$MEKN$$.

Проверим, что это и есть искомое сечение:

• $$ME \parallel BD$$ и $$NK \parallel BD$$, значит $$ME \parallel NK$$;
• $$MN \parallel AC$$ и $$EK \parallel AC$$, значит $$MN \parallel EK$$.

Следовательно, $$MEKN$$ — параллелограмм, и он является сечением тетраэдра плоскостью, проходящей через точку $$M$$ параллельно прямым $$AC$$ и $$BD$$.