Упр.103 ГДЗ Атанасян 10-11 класс по геометрии (Геометрия)
- На рёбрах $$DA$$, $$DB$$ и $$DC$$ тетраэдра $$DABC$$ отмечены точки $$M$$, $$N$$ и $$P$$ так, что $$DM:MA=DN:NB=DP:PC$$. Докажите, что плоскости $$MNP$$ и $$ABC$$ параллельны. Найдите площадь треугольника $$MNP$$, если площадь треугольника $$ABC$$ равна $$10\ \text{см}^2$$ и $$DM:MA=2:1$$.
Рассмотрим треугольники $$DMP$$ и $$DAC$$. По условию
$$\frac{DM}{MA}=\frac{DP}{PC}.$$
Так как $$DA=DM+MA$$ и $$DC=DP+PC$$, то
$$\frac{DM}{DA-DM}=\frac{DP}{DC-DP}.$$
Отсюда получаем
$$\frac{DM}{DA}=\frac{DP}{DC},$$
значит, треугольники $$DMP$$ и $$DAC$$ подобны по двум сторонам и углу между ними. Тогда
$$\angle DMP=\angle DAC,\qquad \angle DPM=\angle DCA,$$
следовательно, $$MP \parallel AC$$.
Аналогично из равенства $$\frac{DM}{MA}=\frac{DN}{NB}$$ получаем подобие треугольников $$DMN$$ и $$DAB$$, откуда $$MN \parallel AB$$. Точно так же из $$\frac{DN}{NB}=\frac{DP}{PC}$$ следует, что $$NP \parallel BC$$.
Итак, в плоскости $$MNP$$ лежат две пересекающиеся прямые $$MP$$ и $$MN$$, соответственно параллельные прямым $$AC$$ и $$AB$$ плоскости $$ABC$$. Значит,
$$MNP \parallel ABC.$$
Теперь найдём площадь $$\triangle MNP$$. При $$DM:MA=2:1$$ имеем
$$\frac{DM}{DA}=\frac{2}{2+1}=\frac{2}{3}.$$
Из подобия $$\triangle DMP \sim \triangle DAC$$ коэффициент подобия равен $$\frac{2}{3}$$, поэтому
$$\frac{S_{MNP}}{S_{ABC}}=\left(\frac{2}{3}\right)^2=\frac{4}{9}.$$
Тогда
$$S_{MNP}=10\cdot \frac{4}{9}=\frac{40}{9}\text{ см}^2.$$
Ответ: $$MNP \parallel ABC,$$ $$S_{MNP}=\frac{40}{9}\text{ см}^2.$$
