Упр.102 ГДЗ Атанасян 10-11 класс по геометрии (Геометрия)
- Докажите, что плоскость $$\alpha$$, проходящая через середины двух рёбер основания тетраэдра и вершину, не принадлежащую основанию, параллельна третьему ребру основания. Найдите периметр и площадь сечения тетраэдра плоскостью $$\alpha$$, если длины всех рёбер тетраэдра равны $$20\text{ см}$$.
Пусть тетраэдр $$DABC$$, а точки $$M$$ и $$N$$ — середины рёбер $$AB$$ и $$BC$$ соответственно. Тогда в треугольнике $$ABC$$ отрезок $$MN$$ является средней линией, значит
$$MN \parallel AC.$$
Так как $$MN \subset \alpha$$ и $$AC \subset (ABC),$$ то прямая $$AC$$ параллельна плоскости $$\alpha$$. Это и требовалось доказать.
Теперь найдём периметр и площадь сечения. Все рёбра тетраэдра равны $$20$$ см, значит треугольники $$ABC$$, $$ABD$$ и $$BCD$$ — равносторонние.
Из свойства средней линии:
$$MN=\frac{1}{2}AC=\frac{1}{2}\cdot 20=10\text{ см}.$$
Рассмотрим треугольник $$DBC$$. Так как $$N$$ — середина $$BC$$, то $$DN$$ — медиана в равностороннем треугольнике $$DBC$$, а значит и высота:
$$DN=\sqrt{DC^2-CN^2}=\sqrt{20^2-10^2}=\sqrt{300}=10\sqrt{3}\text{ см}.$$
Аналогично $$DM=10\sqrt{3}\text{ см}.$$ Следовательно, сечение $$MDN$$ — равнобедренный треугольник.
Тогда его периметр равен
$$P_{MDN}=MN+DM+DN=10+10\sqrt{3}+10\sqrt{3}=10(1+2\sqrt{3})\text{ см}.$$
Найдём площадь. Опустим высоту $$DH$$ на основание $$MN$$. В равнобедренном треугольнике $$MDN$$ эта высота делит основание пополам, поэтому
$$MH=HN=\frac{MN}{2}=5\text{ см}.$$
По теореме Пифагора:
$$DH=\sqrt{DM^2-MH^2}=\sqrt{(10\sqrt{3})^2-5^2}=\sqrt{300-25}=\sqrt{275}=5\sqrt{11}\text{ см}.$$
Тогда
$$S_{MDN}=\frac{1}{2}\cdot MN\cdot DH=\frac{1}{2}\cdot 10\cdot 5\sqrt{11}=25\sqrt{11}\text{ см}^2.$$
Ответ: $$P_{MDN}=10(1+2\sqrt{3})\text{ см},\quad S_{MDN}=25\sqrt{11}\text{ см}^2.$$
