Упр.101 ГДЗ Атанасян 10-11 класс по геометрии (Геометрия)

Задача

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Атанасян, Бутузов, Кадомцев 11 класс, Просвещение: Докажите, что отрезки, соединяющие середины противоположных ребер тетраэдра, пересекаются и точкой пересечения делятся пополам.

Подробный ответ

Обозначим середины рёбер тетраэдра $$DABC$$ так: $$M$$ — середина $$DA$$, $$N$$ — середина $$DC$$, $$P$$ — середина $$BC$$, $$Q$$ — середина $$AB$$, $$K$$ — середина $$AC$$, $$L$$ — середина $$DB$$.

Рассмотрим четырёхугольник $$MNKL$$. Так как $$M$$ и $$N$$ — середины рёбер $$DA$$ и $$DC$$ треугольника $$ADC$$, то $$MN$$ — средняя линия этого треугольника, значит $$MN \parallel AC$$ и $$MN=\frac12 AC$$.

Аналогично, $$K$$ и $$L$$ — середины рёбер $$AC$$ и $$DB$$? Нет, для удобства рассмотрим пары средних линий в соответствующих треугольниках: в треугольнике $$DBC$$ отрезок $$NL$$ соединяет середины $$DC$$ и $$DB$$, поэтому $$NL \parallel BC$$ и $$NL=\frac12 BC$$; в треугольнике $$ABC$$ отрезок $$KQ$$ соединяет середины $$AC$$ и $$AB$$, поэтому $$KQ \parallel BC$$ и $$KQ=\frac12 BC$$. Следовательно, $$NL \parallel KQ$$.

Точно так же в треугольнике $$ABD$$ отрезок $$ML$$ соединяет середины $$DA$$ и $$DB$$, значит $$ML \parallel AB$$ и $$ML=\frac12 AB$$; в треугольнике $$ABC$$ отрезок $$PQ$$ соединяет середины $$BC$$ и $$AB$$, значит $$PQ \parallel AC$$ и $$PQ=\frac12 AC$$. Поэтому $$ML \parallel PQ$$.

Итак, противоположные стороны четырёхугольника $$MNPQ$$ попарно параллельны, значит $$MNPQ$$ — параллелограмм. Его диагонали $$MP$$ и $$NQ$$ пересекаются и делятся точкой пересечения пополам.

Но отрезки, соединяющие середины противоположных рёбер тетраэдра, — это именно $$MP$$ и $$NQ$$. Следовательно, они пересекаются, и точка их пересечения делит каждый из них пополам.