Упр.101 ГДЗ Атанасян 10-11 класс по геометрии (Геометрия)

Задача

Докажите, что отрезки, соединяющие середины противоположных рёбер тетраэдра, пересекаются и точкой пересечения делятся пополам.

Подробный ответ

Обозначим середины рёбер тетраэдра $$ABCD$$ так: $$M$$ — середина $$AD$$, $$N$$ — середина $$CD$$, $$P$$ — середина $$BC$$, $$Q$$ — середина $$AB$$, $$K$$ — середина $$AC$$, $$L$$ — середина $$BD$$.

Рассмотрим четырёхугольник $$MNKL$$. В треугольнике $$ADC$$ отрезок $$MN$$ — средняя линия, поэтому

$$MN \parallel AC,\qquad MN=\frac12 AC.$$

В треугольнике $$BDC$$ отрезок $$NL$$ — средняя линия, значит

$$NL \parallel BC,\qquad NL=\frac12 BC.$$

В треугольнике $$ABC$$ отрезок $$KQ$$ — средняя линия, поэтому

$$KQ \parallel BC,\qquad KQ=\frac12 BC.$$

В треугольнике $$ABD$$ отрезок $$MK$$ — средняя линия, значит

$$MK \parallel BD,\qquad MK=\frac12 BD.$$

Следовательно, противоположные стороны четырёхугольника $$MNKL$$ попарно параллельны, значит $$MNKL$$ — параллелограмм.

Аналогично рассмотрим четырёхугольник $$MPKQ$$. В треугольниках $$ABD$$ и $$ABC$$ отрезки $$MP$$ и $$KQ$$ — средние линии, поэтому

$$MP \parallel BD,\qquad KQ \parallel BC.$$

Кроме того, в треугольнике $$ABC$$ отрезок $$PQ$$ — средняя линия, значит

$$PQ \parallel AC.$$

Тогда четырёхугольник $$MPKQ$$ также является параллелограммом.

В параллелограмме $$MNKL$$ диагонали $$MK$$ и $$NL$$ пересекаются и делятся точкой пересечения пополам. Обозначим эту точку через $$O$$. В параллелограмме $$MPKQ$$ диагонали $$MQ$$ и $$PK$$ пересекаются и делятся пополам в той же точке $$O$$.

Значит, отрезки, соединяющие середины противоположных рёбер тетраэдра, пересекаются в одной точке и этой точкой делятся пополам.