Упр.100 ГДЗ Атанасян 10-11 класс по геометрии (Геометрия)
- Даны две скрещивающиеся прямые и точка А. Докажите, что через точку А проходит, и притом только одна, плоскость, которая либо параллельна данным прямым, либо проходит через одну из них и параллельна другой.
Проведём через точку $$A$$ прямые $$a’$$ и $$b’$$, параллельные данным прямым $$a$$ и $$b$$. Так как $$a$$ и $$b$$ — скрещивающиеся, то прямые $$a’$$ и $$b’$$ не могут быть параллельны, значит, они пересекаются. Следовательно, через них проходит единственная плоскость $$\alpha$$.
Рассмотрим два случая.
Ни одна из прямых $$a$$ и $$b$$ не лежит в плоскости $$\alpha$$. Тогда $$a \parallel a’$$ и $$b \parallel b’$$, а значит, $$a \parallel \alpha$$ и $$b \parallel \alpha$$. Получаем плоскость, проходящую через точку $$A$$ и параллельную обеим данным прямым.
Одна из прямых, например $$a$$, лежит в плоскости $$\alpha$$. Тогда $$b \not\subset \alpha$$, но $$b \parallel b’$$, причём $$b’ \subset \alpha$$. Следовательно, $$b \parallel \alpha$$. Значит, плоскость $$\alpha$$ проходит через прямую $$a$$ и параллельна прямой $$b$$.
Осталось доказать единственность. Если через точку $$A$$ существует плоскость, удовлетворяющая условию, то она должна содержать прямую, параллельную одной из данных прямых, и быть параллельной другой. Но через точку $$A$$ можно провести только одну прямую, параллельную данной прямой, и только одну плоскость через эту прямую и параллельную другой прямой. Значит, искомая плоскость единственна.
Ответ: через точку $$A$$ проходит и притом только одна плоскость, которая либо параллельна обеим данным скрещивающимся прямым, либо проходит через одну из них и параллельна другой.
