Подготовка к ЕГЭ Задание 16 Упр.10 ГДЗ Атанасян 10-11 класс по геометрии (Геометрия)

1. Точки $$M$$ и $$N$$ — середины сторон $$BC$$ и $$CD$$ параллелограмма $$ABCD$$. Отрезки $$AM$$ и $$BN$$ пересекаются в точке $$O$$. Найдите отношение $$\frac{MO}{OA}$$.

Рассмотрим треугольник $$ABE$$, где точка $$E$$ — пересечение прямых $$BN$$ и $$AD$$.

Так как $$N$$ — середина стороны $$CD$$ параллелограмма $$ABCD$$, то $$DN=\frac12 CD$$. Но в параллелограмме $$CD=AB$$, значит

$$DN=\frac12 AB.$$

Кроме того, $$CD \parallel AB$$, следовательно, $$DN \parallel AB$$. Тогда в треугольнике $$ABE$$ отрезок $$DN$$ — средняя линия, поэтому

$$AE=2AD=4BM.$$

Рассмотрим треугольники $$BOM$$ и $$AOE$$. У них

$$\angle BOM=\angle AOE,$$

$$\angle BMO=\angle OAE,$$

значит, $$\triangle BOM \sim \triangle AOE$$.

Из подобия получаем

$$\frac{OM}{OA}=\frac{BM}{AE}.$$

Так как $$AE=4BM$$, то

$$\frac{OM}{OA}=\frac{1}{4}.$$

Ответ

$$\frac{1}{4}$$