Подготовка к ЕГЭ Задание 14 Упр.10 ГДЗ Атанасян 10-11 класс по геометрии (Геометрия)

Основанием прямой треугольной призмы $$ABCA_1B_1C_1$$ является равнобедренный треугольник $$ABC$$, в котором $$AB=BC=10$$, $$AC=16$$. Боковое ребро призмы равно $$24$$, точка $$P$$ — середина ребра $$BB_1$$. Найдите тангенс угла между плоскостями $$A_1B_1C_1$$ и $$ACP$$.

Отметим точку $$D$$ — середину отрезка $$AC$$. Тогда

$$AD=CD=\frac{AC}{2}=\frac{16}{2}=8.$$

Так как $$AB=BC=10,$$ то в равнобедренном треугольнике $$ABC$$ отрезок $$BD$$ является высотой, значит $$BD\perp AC.$$ Найдём $$BD$$ из прямоугольного треугольника $$ABD$$:

$$BD=\sqrt{AB^2-AD^2}=\sqrt{10^2-8^2}=\sqrt{100-64}=\sqrt{36}=6.$$

Точка $$P$$ — середина ребра $$BB_1,$$ а призма прямая, значит $$BB_1\perp (ABC)$$ и, следовательно, $$BB_1\perp AC.$$ Поскольку $$D\in AC,$$ то $$BD\perp AC$$ и $$PD\perp AC$$. Значит, плоскость $$PDB$$ перпендикулярна прямой $$AC$$, а искомый двугранный угол между плоскостями $$A_1B_1C_1$$ и $$ACP$$ равен углу $$\angle PDB$$.

В прямоугольном треугольнике $$PBD$$ имеем

$$PB=\frac{BB_1}{2}=\frac{24}{2}=12,$$

поэтому

$$\tan \angle PDB=\frac{PB}{BD}=\frac{12}{6}=2.$$

Ответ: $$2$$.