Подготовка к ЕГЭ Задание 14 Упр.10 ГДЗ Атанасян 10-11 класс по геометрии (Геометрия)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Атанасян, Бутузов, Кадомцев 11 класс, Просвещение: Основанием прямой треугольной призмы ABCA_1B_1C_1 является равнобедренный треугольник АВС, в котором AB=BC=10, AC=16. Боковое ребро призмы равно 24, точка Р — середина ребра BB_1. Найдите тангенс угла между плоскостями A_1B_1C_1 и АСР.

Обозначим через $$D$$ середину отрезка $$AC$$. Тогда $$AD=CD=8$$.

Так как $$\triangle ABC$$ равнобедренный, то медиана $$BD$$ к основанию $$AC$$ является высотой, значит $$BD \perp AC$$.

Найдём $$BD$$ по теореме Пифагора в прямоугольном треугольнике $$ABD$$:

$$ BD=\sqrt{AB^2-AD^2}=\sqrt{10^2-8^2}=\sqrt{100-64}=\sqrt{36}=6. $$

Точка $$P$$ — середина ребра $$BB_1$$, а призма прямая, значит $$BB_1 \perp (ABC)$$. Следовательно, $$BB_1 \perp BD$$.

Плоскость $$ACP$$ содержит прямую $$AC$$ и точку $$P$$, а в равнобедренном треугольнике $$AP=CP$$, поэтому прямая $$PD$$ является высотой треугольника $$APC$$, то есть $$PD \perp AC$$.

Итак, прямая $$PD$$ перпендикулярна двум пересекающимся прямым $$AC$$ и $$BB_1$$, лежащим в плоскости $$A_1B_1C_1$$, значит $$PD \perp (A_1B_1C_1)$$. Поэтому искомый двугранный угол между плоскостями $$A_1B_1C_1$$ и $$ACP$$ равен углу $$\angle PDB$$.

В прямоугольном треугольнике $$PDB$$:

$$ PB=\frac{BB_1}{2}=\frac{24}{2}=12, $$

$$ \tan \angle PDB=\frac{PB}{BD}=\frac{12}{6}=2. $$

Ответ

$$2$$