Исследовательские задачи Упр.1 ГДЗ Атанасян 10-11 класс по геометрии (Геометрия)
Тетраэдр называется ортоцентрическим, если его высоты пересекаются в одной точке (ортоцентр тетраэдра). Докажите, что тетраэдр является ортоцентрическим тогда и только тогда, когда выполнено любое из следующих условий:
- а) противоположные рёбра тетраэдра перпендикулярны;
- б) основанием одной из высот тетраэдра является ортоцентр грани (при этом таким же свойством обладают и три другие высоты тетраэдра);
- в) три бимедианы тетраэдра равны друг другу;
- г) суммы квадратов противоположных рёбер тетраэдра равны;
- д) произведения косинусов противоположных двугранных углов тетраэдра равны.
Докажем по пунктам, что для тетраэдра каждое из указанных условий эквивалентно ортоцентричности.
а) Пусть $$AK$$ и $$PH$$ — высоты тетраэдра $$PABC$$. Тогда
$$AK\perp BC,\quad AK\perp PC,$$
значит, $$AK\perp (PBC)$$. Аналогично для остальных высот. Если две высоты пересекаются, то каждая из них перпендикулярна двум рёбрам, лежащим в соответствующей грани, а значит, все высоты проходят через одну точку. Следовательно, в ортоцентрическом тетраэдре противоположные рёбра попарно перпендикулярны.
Обратно, если противоположные рёбра попарно перпендикулярны, то, например, из $$AP\perp BC$$ и $$PC\perp AB$$ следует, что прямая, проходящая через вершину $$A$$ и перпендикулярная плоскости $$PBC$$, является высотой. Аналогично строятся остальные высоты, и они пересекаются в одной точке. Значит, тетраэдр ортоцентрический.
б) Пусть основанием высоты из вершины $$P$$ является точка $$H$$. Тогда $$PH\perp (ABC)$$. Из пункта а) известно, что в ортоцентрическом тетраэдре $$AP\perp BC$$ и $$BP\perp AC$$, поэтому точка $$H$$ лежит на высотах треугольника $$ABC$$. Следовательно, $$H$$ — ортоцентр грани $$ABC$$.
Аналогично основание любой высоты тетраэдра является ортоцентром соответствующей грани.
в) Обозначим через $$K, H, M, T, E, F$$ середины рёбер. Тогда
$$KH\parallel AB,\quad MT\parallel AB,\quad KH=MT=\frac12 AB,$$
$$KM\parallel PC,\quad KM=\frac12 PC,$$
и, так как в ортоцентрическом тетраэдре $$AB\perp PC$$, получаем $$KM\perp KH$$. Значит, $$\angle K=90^\circ$$.
В прямоугольном треугольнике $$KHT$$ диагональ $$KT$$ равна
$$KT=MH.$$
Аналогично в прямоугольном треугольнике $$KETF$$ имеем
$$EF=KT.$$
Следовательно, все бимедианы тетраэдра равны друг другу.
г) Из предыдущего пункта:
$$MH=KT=EF,$$
а также $$KM\perp KH$$ и $$KE\perp KF$$. Тогда в прямоугольном треугольнике $$KMH$$
$$MH^2=KM^2+KH^2=\left(\frac12 PC\right)^2+\left(\frac12 AB\right)^2.$$
В прямоугольном треугольнике $$AKEF$$
$$EF^2=KE^2+KF^2=\left(\frac12 AC\right)^2+\left(\frac12 PB\right)^2.$$
Так как $$MH=EF$$, то
$$PC^2+AB^2=AC^2+PB^2.$$
Аналогично получаем
$$BC^2+AP^2=AB^2+PC^2.$$
Значит, суммы квадратов противоположных рёбер равны.
д) Рассмотрим двугранные углы $$\angle BDC$$, $$\angle PEA$$, $$\angle PFB$$, $$\angle AGC$$. Для тетраэдра верно соотношение
$$\frac{AP\cdot BC}{\sin\angle BDC\cdot \sin\angle PEA} = \frac{PB\cdot AC}{\sin\angle PFB\cdot \sin\angle AGC}.$$
Отсюда
$$AP^2+BC^2+2AP\cdot BC\cdot \cot\angle BDC\cdot \cot\angle PEA$$
и
$$PB^2+AC^2+2PB\cdot AC\cdot \cot\angle PFB\cdot \cot\angle AGC.$$
С учётом пункта г) получаем
$$AP^2+BC^2=PB^2+AC^2=PC^2+AB^2,$$
а значит,
$$\cos\angle BDC\cdot \cos\angle PEA=\cos\angle PFB\cdot \cos\angle AGC.$$
Следовательно, произведения косинусов противоположных двугранных углов равны.
Обратные утверждения доказываются теми же соотношениями в обратном порядке: каждое из условий а)–д) влечёт ортоцентричность тетраэдра.
Ответ
Тетраэдр является ортоцентрическим тогда и только тогда, когда выполняется любое из условий а)–д).
