Подготовка к ЕГЭ Задание 16 Упр.1 ГДЗ Атанасян 10-11 класс по геометрии (Геометрия)

1. В прямоугольном треугольнике ABC гипотенуза AB равна $$c$$ и $$?ABC=?$$. Найдите все медианы этого треугольника.

В прямоугольном треугольнике $$ABC$$ угол $$C=90^\circ$$, гипотенуза $$AB=c$$, $$\angle ABC=\alpha$$. Найдём длины медиан $$AD$$, $$BE$$ и $$CF$$.

Ход решения

1) В прямоугольном треугольнике $$ABC$$ медиана, проведённая к гипотенузе, равна половине гипотенузы, значит

$$CF=\frac{AB}{2}=\frac{c}{2}.$$

2) Найдём катеты треугольника $$ABC$$:

$$\cos \alpha=\frac{BC}{AB}, \qquad BC=c\cos \alpha,$$

$$\sin \alpha=\frac{AC}{AB}, \qquad AC=c\sin \alpha.$$

3) Рассмотрим прямоугольный треугольник $$BEC$$. Тогда

$$BE=\sqrt{BC^2+CE^2}.$$

Так как $$E$$ — середина $$AC$$, то

$$CE=\frac{AC}{2}=\frac{c\sin \alpha}{2}.$$

Следовательно,

$$BE=\sqrt{c^2\cos^2\alpha+\frac{c^2\sin^2\alpha}{4}} =\frac{c}{2}\sqrt{4\cos^2\alpha+\sin^2\alpha} =\frac{c}{2}\sqrt{1+3\cos^2\alpha}.$$

4) Теперь рассмотрим прямоугольный треугольник $$ADC$$. Здесь

$$AD=\sqrt{AC^2+DC^2}.$$

Так как $$D$$ — середина $$BC$$, то

$$DC=\frac{BC}{2}=\frac{c\cos \alpha}{2}.$$

Тогда

$$AD=\sqrt{c^2\sin^2\alpha+\frac{c^2\cos^2\alpha}{4}} =\frac{c}{2}\sqrt{4\sin^2\alpha+\cos^2\alpha} =\frac{c}{2}\sqrt{1+3\sin^2\alpha}.$$

Ответ

$$AD=\frac{c}{2}\sqrt{1+3\sin^2\alpha}, \qquad BE=\frac{c}{2}\sqrt{1+3\cos^2\alpha}, \qquad CF=\frac{c}{2}.$$