Подготовка к ЕГЭ Задание 14 Упр.1 ГДЗ Атанасян 10-11 класс по геометрии (Геометрия)

Дан куб $$ABCDA_1B_1C_1D_1$$. Найдите тангенс угла между прямой $$AC_1$$ и плоскостью $$BCC_1$$.

Рассмотрим куб $$ABCDA_1B_1C_1D_1$$ со стороной $$AB=a$$.

Прямая $$AC_1$$ пересекает плоскость $$BCC_1$$ в точке $$C_1$$. Проекцией отрезка $$AC_1$$ на плоскость $$BCC_1$$ является отрезок $$BC_1$$, так как точка $$A$$ проектируется на плоскость $$BCC_1$$ в точку $$B$$, а точка $$C_1$$ лежит в этой плоскости.

Следовательно, искомый угол равен $$\angle AC_1B$$.

В треугольнике $$ABC_1$$ угол при точке $$B$$ прямой, потому что $$AB \perp BC$$ и $$AB \perp BB_1$$, значит $$AB \perp (BCC_1)$$, а следовательно, $$AB \perp BC_1$$.

Найдём $$BC_1$$:

$$BC_1=\sqrt{BC^2+CC_1^2}=\sqrt{a^2+a^2}=a\sqrt{2}.$$

Тогда

$$\tan \angle AC_1B=\frac{AB}{BC_1}=\frac{a}{a\sqrt{2}}=\frac{1}{\sqrt{2}}=\frac{\sqrt{2}}{2}.$$

Ответ: $$\frac{\sqrt{2}}{2}$$.