Подготовка к ЕГЭ Задание 16 Упр.1 ГДЗ Атанасян 10-11 класс по геометрии (Геометрия)
Рассмотрим вариант решения задания из учебника Атанасян, Бутузов, Кадомцев 11 класс, Просвещение: В прямоугольном треугольнике АВС гипотенуза АВ равна c и ?ABC=?. Найдите все медианы этого треугольника.
Обозначим медианы треугольника $$ABC$$: $$AD$$, $$BE$$ и $$CF$$.
Так как $$\angle C=90^\circ$$, то точка $$F$$ — середина гипотенузы $$AB$$, а значит
$$BF=AF=\frac{AB}{2}=\frac{c}{2}.$$
В прямоугольном треугольнике $$ABC$$ при $$\angle ABC=a$$ имеем
$$\cos a=\frac{BC}{AB}, \qquad \sin a=\frac{AC}{AB}.$$
Отсюда
$$BC=c\cos a, \qquad AC=c\sin a.$$
Теперь найдём остальные медианы.
В прямоугольном треугольнике $$BEC$$:
$$BE=\sqrt{BC^2+CE^2}=\sqrt{c^2\cos^2 a+\left(\frac{c\sin a}{2}\right)^2}$$
$$BE=\frac{c}{2}\sqrt{4\cos^2 a+\sin^2 a}=\frac{c}{2}\sqrt{1+3\cos^2 a}.$$
В прямоугольном треугольнике $$ADC$$:
$$AD=\sqrt{AC^2+CD^2}=\sqrt{c^2\sin^2 a+\left(\frac{c\cos a}{2}\right)^2}$$
$$AD=\frac{c}{2}\sqrt{4\sin^2 a+\cos^2 a}=\frac{c}{2}\sqrt{1+3\sin^2 a}.$$
Итак, все медианы треугольника равны:
$$CF=\frac{c}{2}, \qquad BE=\frac{c}{2}\sqrt{1+3\cos^2 a}, \qquad AD=\frac{c}{2}\sqrt{1+3\sin^2 a}.$$
Ответ
$$\frac{c}{2}; \ \frac{c}{2}\sqrt{1+3\cos^2 a}; \ \frac{c}{2}\sqrt{1+3\sin^2 a}.$$