Упр.9 Раздел 8 ГДЗ Погорелов 10-11 класс по геометрии (Геометрия)

1. Длина образующей конуса равна $$l$$, а длина окружности основания — $$c$$. Найдите объем конуса.

Пусть $$R$$ — радиус основания конуса, $$h$$ — его высота. Тогда длина окружности основания равна

$$c=2\pi R,$$

откуда

$$R=\frac{c}{2\pi}.$$

Рассмотрим прямоугольный треугольник с образующей $$l$$, высотой $$h$$ и радиусом основания $$R$$. По теореме Пифагора

$$h=\sqrt{l^2-R^2}=\sqrt{l^2-\frac{c^2}{4\pi^2}}=\frac{\sqrt{4\pi^2l^2-c^2}}{2\pi}.$$

Площадь основания конуса:

$$S=\pi R^2=\pi\left(\frac{c}{2\pi}\right)^2=\frac{c^2}{4\pi}.$$

Тогда объём конуса равен

$$V=\frac{1}{3}Sh=\frac{1}{3}\cdot \frac{c^2}{4\pi}\cdot \frac{\sqrt{4\pi^2l^2-c^2}}{2\pi}=\frac{c^2}{24\pi^2}\sqrt{4\pi^2l^2-c^2}.$$

Ответ: $$\frac{c^2}{24\pi^2}\sqrt{4\pi^2l^2-c^2}.$$