Упр.9 Раздел 8 ГДЗ Погорелов 10-11 класс по геометрии (Геометрия)

Задача

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Погорелов 11 класс, Просвещение: Длина образующей конуса равна l, а длина окружности основания с. Найдите объем конуса.

Подробный ответ

Обозначим радиус основания конуса через $$R$$. Тогда длина окружности основания равна

$$c=2\pi R,$$

откуда

$$R=\frac{c}{2\pi}.$$

Проведём высоту конуса $$SO$$. Тогда треугольник $$ASO$$ прямоугольный, где $$AS=l$$, $$AO=R$$. По теореме Пифагора:

$$h=SO=\sqrt{AS^2-AO^2}=\sqrt{l^2-\left(\frac{c}{2\pi}\right)^2}=\frac{\sqrt{4\pi^2l^2-c^2}}{2\pi}.$$

Площадь основания конуса:

$$S=\pi R^2=\pi\left(\frac{c}{2\pi}\right)^2=\frac{c^2}{4\pi}.$$

Теперь найдём объём конуса:

$$V=\frac{1}{3}Sh=\frac{1}{3}\cdot \frac{c^2}{4\pi}\cdot \frac{\sqrt{4\pi^2l^2-c^2}}{2\pi}=\frac{c^2}{24\pi^2}\sqrt{4\pi^2l^2-c^2}.$$