Упр.9 Раздел 4 ГДЗ Погорелов 10-11 класс по геометрии (Геометрия)

Докажите, что четырехугольник $$ABCD$$ с вершинами в точках $$A(1; 3; 2)$$, $$B(0; 2; 4)$$, $$C(1; 1; 4)$$, $$D(2; 2; 2)$$ является параллелограммом.

Пусть $$O$$ и $$O_1$$ — середины диагоналей $$AC$$ и $$BD$$ соответственно.

Найдём координаты точки $$O$$:

$$x=\frac{1+1}{2}=1,\qquad y=\frac{3+1}{2}=2,\qquad z=\frac{2+4}{2}=3.$$

Значит, $$O(1;2;3)$$.

Найдём координаты точки $$O_1$$:

$$x=\frac{0+2}{2}=1,\qquad y=\frac{2+2}{2}=2,\qquad z=\frac{4+2}{2}=3.$$

Значит, $$O_1(1;2;3)$$.

Итак, диагонали $$AC$$ и $$BD$$ имеют общую середину: $$O=O_1$$. Следовательно, диагонали четырёхугольника $$ABCD$$ пересекаются и делятся пополам, а значит, $$ABCD$$ — параллелограмм.