Упр.9 Раздел 3 ГДЗ Погорелов 10-11 класс по геометрии (Геометрия)

1. Докажите, что через данную точку прямой можно провести одну и только одну перпендикулярную ей плоскость.

Через прямую $$a$$ проведём две плоскости и в каждой из них построим через точку $$A$$ прямые $$b$$ и $$c$$, перпендикулярные прямой $$a$$. Тогда по теореме о плоскости, проходящей через две пересекающиеся прямые, плоскость $$\alpha$$, содержащая прямые $$b$$ и $$c$$, перпендикулярна прямой $$a$$.

Докажем единственность. Пусть через точку $$A$$ проходит ещё одна плоскость $$\alpha’$$, перпендикулярная прямой $$a$$. Возьмём точку $$B$$ плоскости $$\alpha’$$, не лежащую в плоскости $$\alpha$$. Проведём через точку $$B$$ и прямую $$a$$ плоскость. Она пересечёт плоскости $$\alpha$$ и $$\alpha’$$ по прямым, перпендикулярным прямой $$a$$ и проходящим через одну и ту же точку. Но в одной плоскости через данную точку к данной прямой можно провести только одну перпендикулярную прямую. Получаем противоречие.

Следовательно, через точку $$A$$ можно провести одну и только одну плоскость, перпендикулярную прямой $$a$$.