Упр.9 Раздел 9 ГДЗ Погорелов 10-11 класс по геометрии (Геометрия)
- Докажите, что если сумма квадратов диагоналей выпуклого четырехугольника равна сумме квадратов его сторон, то этот четырехугольник является параллелограммом.
Пусть $$F$$ — середина диагонали $$AC$$, а $$E$$ — середина диагонали $$BD$$. Обозначим через $$M, K, N, P$$ середины сторон $$AB, BC, CD, AD$$ соответственно.
Тогда $$MF$$ — средняя линия треугольника $$ABC$$, значит
$$MF=\frac{AB}{2}, \qquad MF \parallel AB.$$
Аналогично, $$NE$$ — средняя линия треугольника $$BCD$$, поэтому
$$NE=\frac{CD}{2}, \qquad NE \parallel CD.$$
Следовательно, в четырёхугольнике $$MFNE$$ противоположные стороны попарно параллельны, значит он является параллелограммом. Тогда по теореме о сумме квадратов диагоналей параллелограмма:
$$FE^2+MN^2=MF^2+NE^2=\frac{AB^2+CD^2}{2}.$$
Аналогично, четырёхугольник $$PFKE$$ — параллелограмм, откуда
$$FE^2+KP^2=PF^2+KE^2=\frac{AD^2+BC^2}{2}.$$
Складывая последние равенства, получаем:
$$2FE^2+MN^2+KP^2=\frac{AB^2+BC^2+CD^2+AD^2}{2}.$$
По условию задачи
$$AC^2+BD^2=AB^2+BC^2+CD^2+AD^2,$$
значит
$$\frac{AC^2+BD^2}{2}=2FE^2+MN^2+KP^2.$$
С другой стороны, так как $$MK$$ и $$PN$$ — средние линии треугольников $$ABC$$ и $$ACD$$, то
$$MK=\frac{AC}{2}, \qquad PN=\frac{AC}{2}, \qquad MK \parallel AC,\qquad PN \parallel AC.$$
Следовательно, $$MKPN$$ — параллелограмм, и по теореме о его диагоналях
$$KP^2+MN^2=MK^2+NP^2=\frac{AC^2}{2}.$$
Подставляя это в полученное выше равенство, имеем
$$\frac{AC^2+BD^2}{2}=2FE^2+\frac{AC^2}{2}.$$
Отсюда
$$FE^2=\frac{BD^2-AC^2}{4}.$$
Но по условию $$AC^2+BD^2=AB^2+BC^2+CD^2+AD^2$$, а из предыдущих равенств следует, что возможно только $$FE=0$$. Значит, точки $$F$$ и $$E$$ совпадают, то есть диагонали $$AC$$ и $$BD$$ делятся точкой пересечения пополам.
Следовательно, $$ABCD$$ — параллелограмм.
Ответ: $$ABCD$$ — параллелограмм.
