Упр.82 Раздел 5 ГДЗ Погорелов 10-11 класс по геометрии (Геометрия)

Задача

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Погорелов 11 класс, Просвещение: 82. Найдите двугранные углы октаэдра.

Подробный ответ

Рассмотрим правильный октаэдр $$ABCDSS_1$$. Его можно представить как две равные правильные четырёхугольные пирамиды с общим основанием $$ABCD$$, поэтому $$ABCD$$ — квадрат.

Проведём $$SO \perp ABCD$$ и $$OK \perp DC$$. Тогда точка $$O$$ — центр квадрата $$ABCD$$, а потому

$$OK=\frac{a}{2}.$$

Поскольку $$SK \perp DC$$, то $$SK$$ — высота треугольника $$DSC$$, а угол $$\angle SKS_1$$ является линейным углом двугранного угла при ребре $$DC$$.

В прямоугольном треугольнике $$SKC$$:

$$ SK=\sqrt{SC^2-CK^2} =\sqrt{a^2-\left(\frac{a}{2}\right)^2} =\sqrt{\frac{3a^2}{4}} =\frac{a\sqrt3}{2}. $$

В прямоугольном треугольнике $$SOK$$:

$$ \cos \angle SKO=\frac{OK}{SK} =\frac{a/2}{a\sqrt3/2} =\frac{1}{\sqrt3}. $$

Треугольник $$SKS_1$$ равнобедренный, так как $$SK=KS_1$$, поэтому

$$ \angle SKS_1=2\angle SKO=2\arccos\frac{1}{\sqrt3}\approx 109^\circ 28′. $$

Это и есть двугранный угол октаэдра.