Упр.82 Раздел 5 ГДЗ Погорелов 10-11 класс по геометрии (Геометрия)
- 5-82. Найдите двугранные углы октаэдра.
Пусть $$ABCDS S_1$$ — правильный октаэдр. Тогда его можно рассматривать как две равные правильные четырёхугольные пирамиды с общим основанием $$ABCD$$, значит $$ABCD$$ — квадрат.
Проведём $$SO \perp ABCD$$ и $$OK \perp DC$$. Тогда точка $$O$$ — центр квадрата $$ABCD$$, поэтому $$OK=\dfrac{a}{2}$$.
Так как $$SK \perp DC$$ по теореме о трёх перпендикулярах, то $$SK$$ — высота треугольника $$DSC$$, а угол $$\angle SKS_1$$ является линейным углом двугранного угла при ребре $$DC$$.
В прямоугольном треугольнике $$SKC$$ имеем
$$SK=\sqrt{SC^2-CK^2} =\sqrt{a^2-\left(\frac{a}{2}\right)^2} =\sqrt{\frac{3a^2}{4}} =\frac{a\sqrt3}{2}.$$
В прямоугольном треугольнике $$SOK$$
$$\cos \angle SKO=\frac{OK}{SK} =\frac{a/2}{a\sqrt3/2} =\frac{1}{\sqrt3}.$$
Треугольник $$SKS_1$$ равнобедренный, так как $$SK=KS_1$$, поэтому
$$\angle SKS_1=2\angle SKO=2\arccos\frac{1}{\sqrt3}\approx 109^\circ 28′.$$
Ответ: $$109^\circ 28’$$.
