Упр.80 Раздел 5 ГДЗ Погорелов 10-11 класс по геометрии (Геометрия)

1. Докажите, что концы двух непараллельных диагоналей противолежащих граней куба являются вершинами тетраэдра.

Рассмотрим куб $$ABCDA_1B_1C_1D_1$$ и две непараллельные диагонали противоположных граней, например $$AB_1$$ и $$CD_1$$.

Соединим концы этих диагоналей отрезками. Получим четырёхугольник с вершинами $$A, B_1, C, D_1$$, у которого все стороны являются диагоналями квадратных граней куба. Так как диагонали равных квадратов равны, то соответствующие отрезки равны.

Следовательно, фигура $$AB_1CD_1$$ имеет 4 вершины и 6 рёбер. Это тетраэдр.

Значит, концы двух непараллельных диагоналей противоположных граней куба являются вершинами тетраэдра.