Упр.8 Раздел 8 ГДЗ Погорелов 10-11 класс по геометрии (Геометрия)
- Осевым сечением конуса является равнобедренный прямоугольный треугольник, площадь которого $$9\ \text{м}^2$$. Найдите объем конуса.
Рассмотрим осевое сечение конуса $$\triangle ASB$$. По условию оно является равнобедренным прямоугольным, значит $$\angle ASB=90^\circ$$ и $$AS=SB$$.
Пусть $$SO$$ — высота конуса, тогда $$SO\perp AB$$. В равнобедренном треугольнике высота, проведённая к основанию, является также медианой, поэтому $$AO=OB=R$$, где $$R$$ — радиус основания конуса.
Треугольник $$ASB$$ прямоугольный, а $$SO$$ — высота к гипотенузе $$AB$$. Тогда площадь осевого сечения равна
$$S_{ASB}=\frac{1}{2}\cdot AB\cdot SO.$$
Так как $$AB=2R$$, а в прямоугольном равнобедренном треугольнике $$SO=R$$, получаем
$$9=\frac{1}{2}\cdot 2R\cdot R=R^2.$$
Следовательно, $$R=3$$ м, а высота конуса $$h=SO=3$$ м.
Теперь найдём объём конуса:
$$V=\frac{1}{3}\pi R^2h=\frac{1}{3}\pi\cdot 3^2\cdot 3=9\pi\ \text{м}^3.$$
Ответ: $$9\pi\ \text{м}^3$$.
