Упр.8 Раздел 7 ГДЗ Погорелов 10-11 класс по геометрии (Геометрия)
- Измерения прямоугольного бруска — $$3\ \text{см}$$, $$4\ \text{см}$$, $$5\ \text{см}$$. Если увеличить каждое ребро на $$x$$ сантиметров, то поверхность увеличится на $$54\ \text{см}^2$$. Как увеличится объём?
Площадь поверхности прямоугольного параллелепипеда с рёбрами $$3$$ см, $$4$$ см и $$5$$ см равна
$$S=2(ab+bc+ac)=2(3\cdot4+4\cdot5+3\cdot5)=2(12+20+15)=94\text{ см}^2.$$
После увеличения каждого ребра на $$x$$ см получим рёбра $$3+x$$, $$4+x$$ и $$5+x$$. Тогда площадь поверхности станет
$$S_1=2\big((3+x)(4+x)+(4+x)(5+x)+(3+x)(5+x)\big).$$
По условию $$S_1=S+54=94+54=148$$, значит
$$2\big((3+x)(4+x)+(4+x)(5+x)+(3+x)(5+x)\big)=148.$$
Раскроем скобки:
$$2\big((12+7x+x^2)+(20+9x+x^2)+(15+8x+x^2)\big)=148,$$
$$2(47+24x+3x^2)=148,$$
$$3x^2+24x+47=74,$$
$$3x^2+24x-27=0,$$
$$x^2+8x-9=0.$$
Отсюда
$$x=\frac{-8\pm\sqrt{64+36}}{2}=\frac{-8\pm10}{2},$$
$$x=1 \quad \text{или} \quad x=-9.$$
Значение $$x=-9$$ не подходит, так как длины рёбер не могут быть отрицательными. Значит, $$x=1$$.
Тогда новый объём равен
$$V_1=(3+1)(4+1)(5+1)=4\cdot5\cdot6=120,$$
а первоначальный объём
$$V=3\cdot4\cdot5=60.$$
Следовательно, объём увеличится в
$$\frac{V_1}{V}=\frac{120}{60}=2$$
раза.
Ответ: увеличится вдвое.
