Упр.8 Раздел 6 ГДЗ Погорелов 10-11 класс по геометрии (Геометрия)

Задача

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Погорелов 11 класс, Просвещение: Высота цилиндра 2 м. Радиус оснований 7 м. B этот цилиндр наклонно вписан квадрат так, что все вершины его лежат на окружностях оснований. Найдите сторону квадрата (рис. 156).

Подробный ответ

Пусть $$ABCD$$ — данный квадрат, причём $$AD$$ лежит в плоскости верхнего основания цилиндра, а $$BC$$ — в плоскости нижнего основания.

Опустим перпендикуляры $$BB_1$$ и $$CC_1$$ на плоскость нижнего основания цилиндра. Тогда по теореме о трёх перпендикулярах $$B_1A \perp AD$$ и $$C_1D \perp AD$$, значит, четырёхугольник $$AB_1C_1D$$ — прямоугольник. Отсюда $$AD = B_1C_1$$.

Диагональ $$AC_1$$ этого прямоугольника является диаметром окружности основания цилиндра, поэтому

$$AC_1=2r=14\text{ м}.$$

Рассмотрим прямоугольные треугольники $$ADC_1$$ и $$ADC$$. Так как $$ABCD$$ — квадрат, то $$AD=DC$$, а также $$CC_1=2\text{ м}$$ — высота цилиндра. Тогда

$$ AC_1^2=AD^2+CC_1^2 $$
$$ 14^2=AD^2+2^2 $$
$$ AD^2=196-4=192 $$
$$ AD=\sqrt{192}=8\sqrt{3}\text{ м}. $$

Следовательно, сторона квадрата равна $$8\sqrt{3}\text{ м}$$.