Упр.8 Раздел 6 ГДЗ Погорелов 10-11 класс по геометрии (Геометрия)

1. Высота цилиндра — $$2\text{ м}$$. Радиус оснований — $$7\text{ м}$$. В этот цилиндр наклонно вписан квадрат так, что все вершины его лежат на окружностях оснований. Найдите сторону квадрата (рис. 156).

Пусть $$ABCD$$ — данный квадрат, причём $$AD$$ лежит на верхнем основании цилиндра, а $$BC$$ — на нижнем.

Проведём перпендикуляры $$BB_1$$ и $$CC_1$$ к плоскости основания цилиндра. Тогда $$B_1A \perp AD$$ и $$C_1D \perp AD$$, значит, $$AB_1C_1D$$ — прямоугольник. Отсюда $$AD=B_1C_1$$.

Диагональ $$AC_1$$ этого прямоугольника является диаметром окружности основания, поэтому

$$AC_1=2r=14\text{ м}.$$

Рассмотрим прямоугольные треугольники $$ADC_1$$ и $$DCC_1$$. Тогда

$$DC_1^2=DC^2+CC_1^2.$$

Так как $$DC=AD$$, а $$CC_1=2\text{ м}$$, получаем

$$AC_1^2=AD^2+2^2.$$

Подставим значение $$AC_1$$:

$$14^2=AD^2+4,$$

$$AD^2=196-4=192.$$

Следовательно,

$$AD=\sqrt{192}=8\sqrt{3}\text{ м}.$$

Ответ: $$8\sqrt{3}\text{ м}.$$