Упр.8 Раздел 3 ГДЗ Погорелов 10-11 класс по геометрии (Геометрия)

1. Через вершину острого угла прямоугольного треугольника \(ABC\) с прямым углом \(C\) проведена прямая \(AD\), перпендикулярная плоскости треугольника. Найдите расстояния от точки \(D\) до вершин \(B\) и \(C\), если $$AC=a$$, $$BC=b$$, $$AD=c$$.

Так как $$AD \perp (ABC),$$ то прямая $$AD$$ перпендикулярна любой прямой плоскости $$ABC,$$ проходящей через точку $$A.$$ Следовательно,

$$AD \perp AC,\qquad AD \perp AB.$$

Тогда в прямоугольном треугольнике $$CAD$$ по теореме Пифагора получаем:

$$DC=\sqrt{AD^2+AC^2}=\sqrt{c^2+a^2}.$$

Найдём сначала $$AB$$ в прямоугольном треугольнике $$ABC$$:

$$AB=\sqrt{AC^2+BC^2}=\sqrt{a^2+b^2}.$$

Теперь рассмотрим прямоугольный треугольник $$DAB$$:

$$DB=\sqrt{AD^2+AB^2}=\sqrt{c^2+\left(a^2+b^2\right)}=\sqrt{a^2+b^2+c^2}.$$

Ответ: $$DB=\sqrt{a^2+b^2+c^2},\quad DC=\sqrt{a^2+c^2}.$$