Упр.8 Раздел 9 ГДЗ Погорелов 10-11 класс по геометрии (Геометрия)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Погорелов 11 класс, Просвещение: Найдите выражения для сторон треугольника через его медианы.

Пусть стороны треугольника равны $$a,$$ $$b,$$ $$c,$$ а медианы, проведённые к этим сторонам, равны соответственно $$m_a,$$ $$m_b,$$ $$m_c.$$

Для медианы треугольника используем формулу:

$$ m_a=\frac12\sqrt{2b^2+2c^2-a^2},\qquad m_b=\frac12\sqrt{2a^2+2c^2-b^2},\qquad m_c=\frac12\sqrt{2a^2+2b^2-c^2}. $$

Возведём эти равенства в квадрат:

$$ 4m_a^2=2b^2+2c^2-a^2, $$
$$ 4m_b^2=2a^2+2c^2-b^2, $$
$$ 4m_c^2=2a^2+2b^2-c^2. $$

Сложим второе и третье равенства и умножим результат на $$2$$:

$$ 8m_b^2+8m_c^2=8a^2+2b^2+2c^2. $$

Вычтем из полученного равенства первое:

$$ 8m_b^2+8m_c^2-4m_a^2=9a^2. $$

Отсюда

$$ a=\frac23\sqrt{2\left(m_b^2+m_c^2\right)-m_a^2}. $$

Аналогично получаем выражения для остальных сторон:

$$ b=\frac23\sqrt{2\left(m_a^2+m_c^2\right)-m_b^2}, $$
$$ c=\frac23\sqrt{2\left(m_a^2+m_b^2\right)-m_c^2}. $$

Ответ

$$ a=\frac23\sqrt{2\left(m_b^2+m_c^2\right)-m_a^2},\qquad b=\frac23\sqrt{2\left(m_a^2+m_c^2\right)-m_b^2},\qquad c=\frac23\sqrt{2\left(m_a^2+m_b^2\right)-m_c^2}. $$