Упр.78 Раздел 5 ГДЗ Погорелов 10-11 класс по геометрии (Геометрия)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Погорелов 11 класс, Просвещение: Найдите полную поверхность правильной усеченной пирамиды: 1) треугольной; 2) четырехугольной; 3) шестиугольной, если высота h, а стороны оснований а и b.

Обозначим радиусы вписанных окружностей в основаниях усечённой правильной пирамиды через $$r$$ и $$r_1$$. Тогда в сечении, проходящем через ось пирамиды и середины соответствующих сторон оснований, получаем прямоугольный треугольник, в котором апофема усечённой пирамиды равна

$$l=\sqrt{h^2+(r-r_1)^2}.$$

Площадь боковой поверхности правильной усечённой пирамиды равна

$$S_{\text{бок}}=\frac12(P+P_1)l,$$

где $$P$$ и $$P_1$$ — периметры оснований. Полная поверхность:

$$S=S_{\text{осн}}+S_{\text{бок}}.$$

1) Треугольная усечённая пирамида.

Для правильного треугольника

$$S_1=\frac{a^2\sqrt3}{4}, \qquad S_2=\frac{b^2\sqrt3}{4},$$

$$r=\frac{a\sqrt3}{6}, \qquad r_1=\frac{b\sqrt3}{6}.$$

Тогда

$$l=\sqrt{h^2+\left(\frac{a\sqrt3}{6}-\frac{b\sqrt3}{6}\right)^2} =\sqrt{h^2+\frac{(a-b)^2}{12}}.$$

Периметры оснований: $$P=3a,$$ $$P_1=3b.$$ Поэтому

$$S=\frac{a^2\sqrt3}{4}+\frac{b^2\sqrt3}{4}+\frac12(3a+3b)\sqrt{h^2+\frac{(a-b)^2}{12}}.$$

После преобразования:

$$S=\frac{\sqrt3}{4}(a^2+b^2)+\frac{3}{2}(a+b)\sqrt{h^2+\frac{(a-b)^2}{12}} =\frac{\sqrt3}{4}\left(a^2+b^2+(a+b)\sqrt{12h^2+(a-b)^2}\right).$$

2) Четырёхугольная усечённая пирамида.

Для квадрата

$$S_1=a^2,\qquad S_2=b^2,\qquad r=\frac a2,\qquad r_1=\frac b2.$$

Тогда

$$l=\sqrt{h^2+\left(\frac a2-\frac b2\right)^2} =\sqrt{h^2+\frac{(a-b)^2}{4}}.$$

Периметры оснований: $$P=4a,$$ $$P_1=4b.$$ Следовательно,

$$S=a^2+b^2+\frac12(4a+4b)\sqrt{h^2+\frac{(a-b)^2}{4}}.$$

Итак,

$$S=a^2+b^2+(a+b)\sqrt{4h^2+(a-b)^2}.$$

3) Шестиугольная усечённая пирамида.

Для правильного шестиугольника

$$S_1=6\cdot\frac{a^2\sqrt3}{4},\qquad S_2=6\cdot\frac{b^2\sqrt3}{4},$$

$$r=\frac{a\sqrt3}{2},\qquad r_1=\frac{b\sqrt3}{2}.$$

Тогда

$$l=\sqrt{h^2+\left(\frac{a\sqrt3}{2}-\frac{b\sqrt3}{2}\right)^2} =\sqrt{h^2+\frac{3(a-b)^2}{4}}.$$

Периметры оснований: $$P=6a,$$ $$P_1=6b.$$ Поэтому

$$S=6\cdot\frac{a^2\sqrt3}{4}+6\cdot\frac{b^2\sqrt3}{4}+\frac12(6a+6b)\sqrt{h^2+\frac{3(a-b)^2}{4}}.$$

После упрощения получаем

$$S=\frac{2}{3}\left(\sqrt3\,(a^2+b^2)+(a+b)\sqrt{4h^2+3(a-b)^2}\right).$$

Ответ

1) $$S=\frac{\sqrt3}{4}\left(a^2+b^2+(a+b)\sqrt{12h^2+(a-b)^2}\right);$$

2) $$S=a^2+b^2+(a+b)\sqrt{4h^2+(a-b)^2};$$

3) $$S=\frac{2}{3}\left(\sqrt3\,(a^2+b^2)+(a+b)\sqrt{4h^2+3(a-b)^2}\right).$$