Упр.77 Раздел 5 ГДЗ Погорелов 10-11 класс по геометрии (Геометрия)

Задача

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Погорелов 11 класс, Просвещение: B правильной четырехугольной усеченной пирамиде стороны оснований 8 м и 2 м. Высота равна 4 м. Найдите полную поверхность.

Подробный ответ

Пусть $$O$$ и $$O_1$$ — центры оснований правильной усечённой пирамиды. Тогда $$OO_1$$ — её высота, а значит $$OO_1 \perp ABCD$$ и $$OO_1 \perp A_1B_1C_1D_1$$.

Проведём в основаниях перпендикуляры к сторонам: $$OK \perp AD$$ и $$O_1K_1 \perp A_1D_1$$. Тогда $$OK$$ и $$O_1K_1$$ — радиусы вписанных окружностей квадратов:

$$OK=\frac{1}{2}AB=\frac{1}{2}\cdot 8=4\text{ м},$$

$$O_1K_1=\frac{1}{2}A_1B_1=\frac{1}{2}\cdot 2=1\text{ м}.$$

Пусть $$H$$ — проекция точки $$K_1$$ на прямую $$KO$$. Тогда $$K_1O_1OH$$ — прямоугольник, откуда

$$OH=O_1K_1=1\text{ м},$$

следовательно,

$$KH=KO-OH=4-1=3\text{ м}.$$

В прямоугольном треугольнике $$KK_1H$$ найдём апофему усечённой пирамиды:

$$KK_1=\sqrt{KH^2+K_1H^2}=\sqrt{3^2+4^2}=5\text{ м}.$$

Тогда боковая поверхность равна

$$S_{\text{бок}}=\frac{1}{2}(P_1+P_2)\cdot l=\frac{1}{2}(8\cdot 4+2\cdot 4)\cdot 5=100\text{ м}^2,$$

где $$P_1=8\cdot 4$$ и $$P_2=2\cdot 4$$ — периметры оснований, $$l=5\text{ м}$$ — апофема.

Площадь оснований: