Упр.77 Раздел 5 ГДЗ Погорелов 10-11 класс по геометрии (Геометрия)
- В правильной четырехугольной усеченной пирамиде стороны оснований $$8\ \text{м}$$ и $$2\ \text{м}$$. Высота равна $$4\ \text{м}$$. Найдите полную поверхность.
Пусть $$ABCD$$ и $$A_1B_1C_1D_1$$ — основания правильной усечённой четырёхугольной пирамиды. Тогда оба основания — квадраты со сторонами $$8$$ м и $$2$$ м, а высота усечённой пирамиды равна $$4$$ м.
Найдём апофему боковой грани. Обозначим через $$O$$ и $$O_1$$ центры квадратов оснований, а через $$K$$ и $$K_1$$ — середины соответствующих сторон. Тогда
$$OK=\frac{1}{2}\cdot 8=4\text{ м}, \qquad O_1K_1=\frac{1}{2}\cdot 2=1\text{ м}.$$
Так как ось усечённой пирамиды перпендикулярна основаниям, то в плоскости, проходящей через ось и середины соответствующих сторон, получаем прямоугольный треугольник, в котором
$$K_1H=OK-O_1K_1=4-1=3\text{ м},$$
а высота этого треугольника равна $$4$$ м. Тогда апофема боковой грани:
$$KK_1=\sqrt{K_1H^2+4^2}=\sqrt{3^2+4^2}=5\text{ м}.$$
Площадь боковой поверхности усечённой правильной четырёхугольной пирамиды равна
$$S_{\text{бок}}=\frac{1}{2}(P_1+P_2)\cdot l =\frac{1}{2}(4\cdot 8+4\cdot 2)\cdot 5 =\frac{1}{2}(32+8)\cdot 5=100\text{ м}^2.$$
Площади оснований:
$$S_{ABCD}=8^2=64\text{ м}^2,\qquad S_{A_1B_1C_1D_1}=2^2=4\text{ м}^2.$$
Тогда полная поверхность:
$$S=64+4+100=168\text{ м}^2.$$
Ответ: $$168\text{ м}^2$$.
