Упр.76 Раздел 5 ГДЗ Погорелов 10-11 класс по геометрии (Геометрия)
- В правильной треугольной усечённой пирамиде сторона нижнего основания $$8\ \text{м}$$, верхнего — $$5\ \text{м}$$, а высота $$3\ \text{м}$$. Проведите сечение через сторону нижнего основания и противоположную вершину верхнего основания. Найдите площадь сечения и двугранный угол между сечением и нижним основанием.
Пусть сечение проходит через сторону $$BC$$ нижнего основания и противоположную вершину $$A_1$$ верхнего основания. Тогда искомое сечение — треугольник $$A_1BC$$.
Проведём ось усечённой пирамиды $$OO_1$$. Тогда $$OO_1 \perp (ABC)$$, а точки $$O$$ и $$O_1$$ — центры окружностей, описанных около равносторонних треугольников $$ABC$$ и $$A_1B_1C_1$$.
Найдём радиусы этих окружностей:
$$AO=\frac{AB\sqrt{3}}{3}=\frac{8\sqrt{3}}{3}\text{ м},$$
$$A_1O_1=\frac{A_1B_1\sqrt{3}}{3}=\frac{5\sqrt{3}}{3}\text{ м}.$$
Опустим высоту $$AH\perp BC$$. Так как $$ABC$$ — равносторонний треугольник, то
$$AH=\frac{AB\sqrt{3}}{2}=\frac{8\sqrt{3}}{2}=4\sqrt{3}\text{ м}.$$
По теореме о трёх перпендикулярах $$AH\perp BC$$, значит $$\angle A_1HA$$ — линейный угол двугранного угла между сечением и нижним основанием.
Проведём $$A_1K\perp AH$$. Тогда $$A_1O_1OK$$ — прямоугольник, откуда
$$A_1O_1=KO,\qquad AK=AO-KO=\frac{8\sqrt{3}}{3}-\frac{5\sqrt{3}}{3}=\sqrt{3}\text{ м}.$$
Тогда
$$KH=AH-AK=4\sqrt{3}-\sqrt{3}=3\sqrt{3}\text{ м}.$$
В прямоугольном треугольнике $$A_1KH$$ имеем
$$\ctg \angle A_1HK=\frac{KH}{A_1K}=\frac{3\sqrt{3}}{3}=\sqrt{3},$$
следовательно,
$$\angle A_1HK=30^\circ.$$
Теперь найдём $$A_1H$$:
$$A_1H=\sqrt{A_1K^2+KH^2}=\sqrt{3^2+(3\sqrt{3})^2}=6\text{ м}.$$
Площадь сечения:
$$S_{A_1BC}=\frac{1}{2}\cdot BC\cdot A_1H=\frac{1}{2}\cdot 8\cdot 6=24\text{ м}^2.$$
Ответ: $$24\text{ м}^2,\ 30^\circ$$.
