Упр.74 Раздел 5 ГДЗ Погорелов 10-11 класс по геометрии (Геометрия)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Погорелов 11 класс, Просвещение: B правильной усеченной треугольной пирамиде сторона большего основания а, сторона меньшего — b. Боковое ребро образует с основанием угол 45°. Найдите площадь сечения, проходящего через боковое ребро и ось пирамиды.

Достроим усечённую правильную треугольную пирамиду до полной пирамиды $$SABC$$. Пусть $$SO \perp ABC$$, а плоскость верхнего основания пересекает высоту в точке $$O_1$$. Тогда $$O$$ и $$O_1$$ — центры описанных окружностей треугольников $$ABC$$ и $$A_1B_1C_1$$, а $$OO_1$$ — ось усечённой пирамиды.

Для равностороннего треугольника со стороной $$a$$ радиус описанной окружности равен $$\dfrac{a\sqrt{3}}{3}$$, поэтому

$$AO=\frac{a\sqrt{3}}{3}, \qquad A_1O_1=\frac{b\sqrt{3}}{3}.$$

Проведём $$A_1K \perp AO$$. Тогда четырёхугольник $$A_1O_1OK$$ — прямоугольник, откуда

$$KO=A_1O_1=\frac{b\sqrt{3}}{3},$$

$$AK=AO-KO=\frac{a\sqrt{3}}{3}-\frac{b\sqrt{3}}{3}=\frac{(a-b)\sqrt{3}}{3}.$$

Так как боковое ребро образует с основанием угол $$45^\circ$$, то $$\angle AA_1K=45^\circ$$. Следовательно, в прямоугольном треугольнике $$AA_1K$$

$$A_1K=AK=\frac{(a-b)\sqrt{3}}{3}.$$

В равносторонних треугольниках $$ABC$$ и $$A_1B_1C_1$$ высоты равны

$$AH=\frac{a\sqrt{3}}{2}, \qquad A_1H_1=\frac{b\sqrt{3}}{2}.$$

Сечение плоскостью, проходящей через боковое ребро и ось пирамиды, — трапеция $$AA_1H_1H$$. Тогда её площадь равна

$$ S=\frac{AH+A_1H_1}{2}\cdot A_1K =\frac{1}{2}\left(\frac{a\sqrt{3}}{2}+\frac{b\sqrt{3}}{2}\right)\cdot \frac{(a-b)\sqrt{3}}{3}. $$

Упростим:

$$ S=\frac{1}{2}\cdot \frac{(a+b)\sqrt{3}}{2}\cdot \frac{(a-b)\sqrt{3}}{3} =\frac{1}{4}(a^2-b^2). $$

Ответ

$$\frac{1}{4}(a^2-b^2)$$