Упр.74 Раздел 5 ГДЗ Погорелов 10-11 класс по геометрии (Геометрия)

Задача

В правильной усечённой треугольной пирамиде сторона большего основания $$a$$, сторона меньшего — $$b$$. Боковое ребро образует с основанием угол $$45^\circ$$. Найдите площадь сечения, проходящего через боковое ребро и ось пирамиды.

Подробный ответ

Пусть $$ABC A_1B_1C_1$$ — правильная усечённая треугольная пирамида. Достроим её до полной правильной пирамиды $$SABC$$.

Проведём $$SO \perp ABC$$, тогда точка $$O_1$$ — основание перпендикуляра из $$S$$ к плоскости $$A_1B_1C_1$$. Следовательно, $$O$$ и $$O_1$$ — центры описанных окружностей треугольников $$ABC$$ и $$A_1B_1C_1$$.

Для правильного треугольника радиус описанной окружности равен $$R=\frac{a\sqrt{3}}{3}.$$ Поэтому

$$AO=\frac{a\sqrt{3}}{3}, \qquad A_1O_1=\frac{b\sqrt{3}}{3}.$$

Пусть $$A_1K \perp AO$$. Тогда $$A_1O_1OK$$ — прямоугольник, откуда

$$KO=A_1O_1=\frac{b\sqrt{3}}{3},$$

$$AK=AO-KO=\frac{a\sqrt{3}}{3}-\frac{b\sqrt{3}}{3}=\frac{(a-b)\sqrt{3}}{3}.$$

По условию боковое ребро образует с основанием угол $$45^\circ$$, значит $$\angle AA_1K=45^\circ.$$

В прямоугольном треугольнике $$AA_1K$$ получаем

$$A_1K=AK=\frac{(a-b)\sqrt{3}}{3}.$$

В правильных треугольниках $$ABC$$ и $$A_1B_1C_1$$ высоты равны

$$AH=\frac{a\sqrt{3}}{2}, \qquad A_1H_1=\frac{b\sqrt{3}}{2}.$$

Сечение — трапеция $$AA_1H_1H$$, поэтому её площадь равна

$$S=\frac{AH+A_1H_1}{2}\cdot A_1K =\frac{1}{2}\left(\frac{a\sqrt{3}}{2}+\frac{b\sqrt{3}}{2}\right)\cdot \frac{(a-b)\sqrt{3}}{3}.$$