Упр.73 Раздел 5 ГДЗ Погорелов 10-11 класс по геометрии (Геометрия)

Стороны оснований усеченной правильной треугольной пирамиды $$2\ \text{см}$$ и $$6\ \text{см}$$. Боковая грань образует с большим основанием угол $$60^\circ$$. Найдите высоту.

Обозначим через $$S$$ вершину полной пирамиды, а через $$O$$ и $$O_1$$ — центры вписанных окружностей в основаниях $$ABC$$ и $$A_1B_1C_1$$. Тогда $$SO \perp ABC$$, а точка $$O_1$$ лежит в плоскости верхнего основания.

Пусть $$K$$ и $$K_1$$ — точки касания стороны основания с вписанными окружностями в треугольниках $$ABC$$ и $$A_1B_1C_1$$ соответственно. Тогда $$OK$$ и $$O_1K_1$$ — радиусы этих окружностей.

Для равностороннего треугольника со стороной $$a$$ радиус вписанной окружности равен $$r=\dfrac{a\sqrt{3}}{6}$$. Поэтому

$$OK=\frac{6\sqrt{3}}{6}=\sqrt{3}, \qquad O_1K_1=\frac{2\sqrt{3}}{6}=\frac{\sqrt{3}}{3}.$$

Проведём через $$K_1$$ прямую $$K_1H \perp KO$$. Тогда $$K_1O_1OH$$ — прямоугольник, а значит $$K_1H$$ равна высоте пирамиды.

Линейный угол двугранного угла между боковой гранью и большим основанием равен $$60^\circ$$, следовательно, в прямоугольном треугольнике $$K_1KH$$ имеем

$$\angle K_1KH=60^\circ.$$

Найдём $$KH$$:

$$KH=KO-OH=KO-K_1O_1=\sqrt{3}-\frac{\sqrt{3}}{3}=\frac{2\sqrt{3}}{3}.$$

Тогда

$$K_1H=KH\cdot \tan 60^\circ=\frac{2\sqrt{3}}{3}\cdot \sqrt{3}=2.$$

Следовательно, высота усечённой пирамиды равна $$2$$ см.

Ответ: $$2$$ см.