Упр.73 Раздел 5 ГДЗ Погорелов 10-11 класс по геометрии (Геометрия)

Задача

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Погорелов 11 класс, Просвещение: Стороны оснований усеченной правильной треугольной пирамиды 2 см и 6 см. Боковая грань образует с большим основанием угол 60°. Найдите высоту.

Подробный ответ

Достроим усечённую правильную треугольную пирамиду до полной пирамиды $$SABC$$.

Пусть $$SO \perp ABC$$, тогда точка $$O$$ — центр вписанной окружности в равносторонний треугольник $$ABC$$. Плоскость $$A_1B_1C_1$$ пересекает высоту $$SO$$ в точке $$O_1$$, причём $$O_1$$ — центр вписанной окружности в равносторонний треугольник $$A_1B_1C_1$$.

Обозначим радиусы этих окружностей через $$OK$$ и $$O_1K_1$$. Тогда

$$ OK=\frac{AB\sqrt{3}}{6}=\frac{6\sqrt{3}}{6}=\sqrt{3}\text{ см}, $$
$$ O_1K_1=\frac{A_1B_1\sqrt{3}}{6}=\frac{2\sqrt{3}}{6}=\frac{\sqrt{3}}{3}\text{ см}. $$

Проведём $$K_1H \perp KO$$. Тогда четырёхугольник $$K_1O_1OH$$ — прямоугольник, а значит $$K_1H$$ равна высоте пирамиды, то есть $$K_1H=OO_1$$.

Линейный угол двугранного угла при большом основании равен $$60^\circ$$, значит

$$ \angle K_1KH=60^\circ. $$

В прямоугольном треугольнике $$K_1KH$$ имеем

$$ KH=KO-OH=KO-O_1K_1=\sqrt{3}-\frac{\sqrt{3}}{3}=\frac{2\sqrt{3}}{3}. $$

Тогда

$$ \tan 60^\circ=\frac{K_1H}{KH}, $$
$$ K_1H=KH\cdot \tan 60^\circ=\frac{2\sqrt{3}}{3}\cdot \sqrt{3}=2\text{ см}. $$