Упр.72 Раздел 5 ГДЗ Погорелов 10-11 класс по геометрии (Геометрия)

1. 5-72. В правильной четырехугольной усеченной пирамиде высота равна $$2\ \text{см}$$, а стороны оснований — $$3\ \text{см}$$ и $$5\ \text{см}$$. Найдите диагональ этой пирамиды.

Пусть $$ABCD A_1B_1C_1D_1$$ — данная правильная четырёхугольная усечённая пирамида, причём основания $$ABCD$$ и $$A_1B_1C_1D_1$$ — квадраты со сторонами $$5$$ см и $$3$$ см.

Рассмотрим четырёхугольник $$AA_1C_1C$$. Так как основания параллельны, то $$AC \parallel A_1C_1$$, а боковые рёбра равны, значит $$AA_1 = CC_1$$. Следовательно, $$AA_1C_1C$$ — равнобедренная трапеция.

Диагонали квадратов оснований равны:

$$AC=5\sqrt{2}\text{ см}, \qquad A_1C_1=3\sqrt{2}\text{ см}.$$

Опустим перпендикуляры $$A_1K$$ и $$C_1H$$ на плоскость $$ABCD$$. Тогда $$A_1KHC_1$$ — прямоугольник, и

$$A_1K=C_1H=2\text{ см}.$$

Из прямоугольных треугольников $$\triangle AA_1K$$ и $$\triangle CC_1H$$ получаем:

$$AK=CH=\frac{AC-A_1C_1}{2}=\frac{5\sqrt{2}-3\sqrt{2}}{2}=\sqrt{2}\text{ см}.$$

Теперь в прямоугольном треугольнике $$\triangle A_1CK$$:

$$CK=AC-AK=5\sqrt{2}-\sqrt{2}=4\sqrt{2}\text{ см}.$$

Тогда искомая диагональ усечённой пирамиды равна

$$A_1C=\sqrt{A_1K^2+CK^2}=\sqrt{2^2+(4\sqrt{2})^2}=\sqrt{4+32}=\sqrt{36}=6\text{ см}.$$

Ответ: $$6$$ см.