Упр.71 Раздел 5 ГДЗ Погорелов 10-11 класс по геометрии (Геометрия)

1. Стороны оснований правильной усеченной треугольной пирамиды $$4\ \text{дм}$$ и $$1\ \text{дм}$$. Боковое ребро $$2\ \text{дм}$$. Найдите высоту пирамиды.

Достроим усечённую правильную треугольную пирамиду до полной пирамиды $$SABC$$.

Пусть $$SO \perp ABC$$, а плоскость $$A_1B_1C_1$$ пересекает высоту $$SO$$ в точке $$O_1$$. Тогда точки $$O$$ и $$O_1$$ — центры описанных окружностей треугольников $$ABC$$ и $$A_1B_1C_1$$.

Найдём радиусы этих окружностей:

$$AO=R_1=\frac{AB\sqrt{3}}{3}=\frac{4\sqrt{3}}{3}\ \text{дм},$$
$$A_1O_1=R_2=\frac{A_1B_1\sqrt{3}}{3}=\frac{\sqrt{3}}{3}\ \text{дм}.$$

Так как основания пирамиды параллельны, то $$AO \parallel A_1O_1$$, а значит, $$AA_1O_1O$$ — прямоугольная трапеция.

Проведём $$A_1K \perp AO$$. Тогда $$A_1O_1OK$$ — прямоугольник, откуда

$$KO=A_1O_1=\frac{\sqrt{3}}{3}.$$

В прямоугольном треугольнике $$AA_1K$$ имеем:

$$AK=AO-KO=\frac{4\sqrt{3}}{3}-\frac{\sqrt{3}}{3}=\sqrt{3}\ \text{дм},$$
$$A_1K=\sqrt{AA_1^2-AK^2}=\sqrt{2^2-3}=1\ \text{дм}.$$

Следовательно, высота усечённой пирамиды равна $$1$$ дм.

Ответ: $$1\ \text{дм}$$.