Упр.71 Раздел 4 ГДЗ Погорелов 10-11 класс по геометрии (Геометрия)

При каком условии плоскость, заданная уравнением $$ax+by+cz+d=0$$:

1. параллельна оси $$z$$;
2. проходит через ось $$z$$;
3. перпендикулярна плоскости $$xz$$?

Рассмотрим плоскость $$ax+by+cz+d=0.$$

1. Чтобы плоскость была параллельна оси $$z$$, прямая $$x=0,\ y=0$$ не должна иметь с ней общих точек. Подставим $$x=0,\ y=0$$ в уравнение плоскости:

   $$cz+d=0.$$

   Это уравнение не должно иметь решений по $$z$$, значит,

   $$c=0,\quad d\ne 0.$$

2. Чтобы плоскость проходила через ось $$z$$, все точки оси $$z$$, то есть точки вида $$A(0;0;z),$$ должны удовлетворять уравнению плоскости при любом $$z$$:

   $$cz+d=0.$$

   Это возможно только при

   $$c=0,\quad d=0.$$

3. Плоскость $$xz$$ задаётся уравнением $$y=0$$, её нормальный вектор равен $$\vec n_{xz}=(0,1,0).$$

   Нормальный вектор данной плоскости равен $$\vec n=(a,b,c).$$

   Если плоскости перпендикулярны, то их нормальные векторы перпендикулярны:

   $$\vec n\cdot \vec n_{xz}=0.$$

   Тогда

   $$a\cdot 0+b\cdot 1+c\cdot 0=b=0.$$

Ответ: 1) $$c=0,\ d\ne 0$$; 2) $$c=d=0$$; 3) $$b=0$$.