Упр.70 Раздел 5 ГДЗ Погорелов 10-11 класс по геометрии (Геометрия)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Погорелов 11 класс, Просвещение: Высота правильной четырехугольной усеченной пирамиды равна 7 см. Стороны оснований равны 10 см и 2 см. Найдите боковое ребро пирамиды.

Пусть $$ABCD A_1B_1C_1D_1$$ — данная правильная усечённая четырёхугольная пирамида, причём $$ABCD$$ и $$A_1B_1C_1D_1$$ — квадраты.

Рассмотрим четырёхугольник $$AA_1C_1C$$. Так как основания пирамиды параллельны, то $$AC \parallel A_1C_1$$, а боковые рёбра правильной усечённой пирамиды равны, значит $$AA_1 = CC_1$$. Следовательно, $$AA_1C_1C$$ — равнобедренная трапеция.

Найдём диагонали оснований:

$$AC=AB\sqrt{2}=10\sqrt{2}\text{ см},$$
$$A_1C_1=A_1B_1\sqrt{2}=2\sqrt{2}\text{ см}.$$

Опустим перпендикуляры $$A_1K$$ и $$CH$$ на плоскость основания $$ABCD$$. Тогда $$A_1KCH$$ — прямоугольник, и $$A_1K=CH=7\text{ см}$$.

Из прямоугольных треугольников $$\triangle AA_1K$$ и $$\triangle CC_1H$$ получаем:

$$AK=CH=\frac{AC-A_1C_1}{2}=\frac{10\sqrt{2}-2\sqrt{2}}{2}=4\sqrt{2}\text{ см}.$$

Теперь в прямоугольном треугольнике $$\triangle AA_1K$$ находим боковое ребро:

$$AA_1=\sqrt{AK^2+A_1K^2}=\sqrt{(4\sqrt{2})^2+7^2}=\sqrt{32+49}=\sqrt{81}=9\text{ см}.$$

Ответ

$$9\text{ см}$$