Упр.70 Раздел 5 ГДЗ Погорелов 10-11 класс по геометрии (Геометрия)
- Высота правильной четырехугольной усеченной пирамиды равна $$7\ \text{см}$$. Стороны оснований равны $$10\ \text{см}$$ и $$2\ \text{см}$$. Найдите боковое ребро пирамиды.
Рассмотрим четырёхугольник $$AA_1C_1C$$. Так как основания усечённой правильной пирамиды — квадраты, то $$AC \parallel A_1C_1$$, а боковые рёбра равны, значит $$AA_1=CC_1$$. Следовательно, $$AA_1C_1C$$ — равнобедренная трапеция.
Найдём диагонали оснований:
$$AC=10\sqrt{2}\text{ см}, \qquad A_1C_1=2\sqrt{2}\text{ см}.$$
Опустим перпендикуляры $$A_1K$$ и $$C_1H$$ на плоскость основания $$ABCD$$. Тогда $$A_1KHC_1$$ — прямоугольник, и $$A_1K=C_1H=7\text{ см}$$.
Из прямоугольных треугольников $$\triangle AA_1K$$ и $$\triangle CC_1H$$ получаем:
$$AK=CH=\frac{AC-A_1C_1}{2}=\frac{10\sqrt{2}-2\sqrt{2}}{2}=4\sqrt{2}\text{ см}.$$
Теперь в прямоугольном треугольнике $$\triangle AA_1K$$ находим боковое ребро:
$$AA_1=\sqrt{AK^2+A_1K^2}=\sqrt{(4\sqrt{2})^2+7^2}=\sqrt{32+49}=\sqrt{81}=9\text{ см}.$$
Ответ: $$9\text{ см}$$.
