Упр.70 Раздел 4 ГДЗ Погорелов 10-11 класс по геометрии (Геометрия)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Погорелов 10 класс, Просвещение: 70. Найдите точку пересечения трех плоскостей, задаваемых уравнениями:1) x + у + z = 1, x — 2y = 0, 2x + у + 3z + 1 = 0;2) x — у = 3, у + z = 2, x — z = 4;3) x + z = 0, 2x — у = 3, 3x + у — z = 8;4) x + 2у + Зz = 1, 3x + у + 2z = 2, 2x + 3y + z = 3.

1) $$x+y+z=1,\quad x-2y=0,\quad 2x+y+3z+1=0.$$

Из второго уравнения получаем $$x=2y.$$

Подставим в первое: $$2y+y+z=1,$$ откуда $$z=1-3y.$$

Подставим в третье уравнение:

$$2\cdot 2y+y+3(1-3y)+1=0,$$

$$4y+y+3-9y+1=0,$$

$$-4y+4=0,$$

$$y=1.$$

Тогда $$x=2,\quad z=-2.$$

2) $$x-y=3,\quad y+z=2,\quad x-z=4.$$

Из первого уравнения $$x=3+y,$$ из второго $$z=2-y.$$

Подставим в третье:

$$3+y-(2-y)=4,$$

$$2y+1=4,$$

$$2y=3,\quad y=\frac{3}{2}.$$

Тогда

$$x=3+\frac{3}{2}=\frac{9}{2},\quad z=2-\frac{3}{2}=\frac{1}{2}.$$

3) $$x+z=0,\quad 2x-y=3,\quad 3x+y-z=8.$$

Из первого уравнения $$z=-x,$$ из второго $$y=2x-3.$$

Подставим в третье:

$$3x+(2x-3)-(-x)=8,$$

$$6x-3=8,$$

$$6x=11,\quad x=\frac{11}{6}.$$

Тогда

$$y=2\cdot \frac{11}{6}-3=\frac{2}{3},\quad z=-\frac{11}{6}.$$

4) $$x+2y+3z=1,\quad 3x+y+2z=2,\quad 2x+3y+z=3.$$

Из первого уравнения

$$x=1-2y-3z.$$

Подставим во второе:

$$3(1-2y-3z)+y+2z=2,$$

$$3-6y-9z+y+2z=2,$$

$$-5y-7z=-1,$$

$$5y+7z=1.$$

Тогда

$$y=\frac{1-7z}{5}.$$

Подставим в выражение для $$x$$:

$$x=1-2\cdot \frac{1-7z}{5}-3z=\frac{3-z}{5}.$$

Теперь используем третье уравнение:

$$2\cdot \frac{3-z}{5}+3\cdot \frac{1-7z}{5}+z=3,$$

$$2(3-z)+3(1-7z)+5z=15,$$

$$6-2z+3-21z+5z=15,$$

$$9-18z=15,$$

$$-18z=6,\quad z=-\frac{1}{3}.$$

Тогда

$$x=\frac{3-(-1/3)}{5}=\frac{2}{3},\quad y=\frac{1-7(-1/3)}{5}=\frac{2}{3}.$$

Ответ

1) $$\left(2;\,1;\,-2\right);$$ 2) $$\left(\frac{9}{2};\,\frac{3}{2};\,\frac{1}{2}\right);$$ 3) $$\left(\frac{11}{6};\,\frac{2}{3};\,-\frac{11}{6}\right);$$ 4) $$\left(\frac{2}{3};\,\frac{2}{3};\,-\frac{1}{3}\right).$$