Упр.70 Раздел 4 ГДЗ Погорелов 10-11 класс по геометрии (Геометрия)
- Найдите точку пересечения трех плоскостей, задаваемых уравнениями:
1) $$x+y+z=1$$, $$x-2y=0$$, $$2x+y+3z+1=0$$;
2) $$x-y=3$$, $$y+z=2$$, $$x-z=4$$;
3) $$x+z=0$$, $$2x-y=3$$, $$3x+y-z=8$$;
4) $$x+2y+3z=1$$, $$3x+y+2z=2$$, $$2x+3y+z=3$$.
1) Из второго уравнения получаем $$x=2y.$$
Из первого уравнения:
$$2y+y+z=1,$$
откуда $$z=1-3y.$$
Подставим в третье уравнение:
$$2\cdot 2y+y+3(1-3y)+1=0,$$
$$4y+y+3-9y+1=0,$$
$$-4y+4=0,$$
$$y=1.$$
Тогда $$x=2,$$ $$z=1-3\cdot 1=-2.$$
2) Из первого уравнения $$x=3+y.$$
Из второго уравнения $$z=2-y.$$
Подставим в третье уравнение:
$$3+y-(2-y)=4,$$
$$2y+1=4,$$
$$2y=3,$$
$$y=\frac{3}{2}.$$
Тогда
$$x=3+\frac{3}{2}=\frac{9}{2}, \qquad z=2-\frac{3}{2}=\frac{1}{2}.$$
3) Из первого уравнения $$z=-x.$$
Из второго уравнения $$y=2x-3.$$
Подставим в третье уравнение:
$$3x+(2x-3)-(-x)=8,$$
$$6x-3=8,$$
$$6x=11,$$
$$x=\frac{11}{6}.$$
Тогда
$$y=2\cdot \frac{11}{6}-3=\frac{2}{3}, \qquad z=-\frac{11}{6}.$$
4) Из первого уравнения $$x=1-2y-3z.$$
Подставим во второе:
$$3(1-2y-3z)+y+2z=2,$$
$$3-6y-9z+y+2z=2,$$
$$-5y-7z=-1,$$
$$y=\frac{1-7z}{5}.$$
Тогда
$$x=1-2\cdot \frac{1-7z}{5}-3z=\frac{3-z}{5}.$$
Подставим в третье уравнение:
$$2\cdot \frac{3-z}{5}+3\cdot \frac{1-7z}{5}+z=3,$$
$$2(3-z)+3(1-7z)+5z=15,$$
$$6-2z+3-21z+5z=15,$$
$$9-18z=15,$$
$$-18z=6,$$
$$z=-\frac{1}{3}.$$
Тогда
$$x=\frac{3-(-1/3)}{5}=\frac{2}{3}, \qquad y=\frac{1-7(-1/3)}{5}=\frac{2}{3}.$$
Ответ: 1) $$(2;1;-2)$$; 2) $$\left(\frac{9}{2};\frac{3}{2};\frac{1}{2}\right)$$; 3) $$\left(\frac{11}{6};\frac{2}{3};-\frac{11}{6}\right)$$; 4) $$\left(\frac{2}{3};\frac{2}{3};-\frac{1}{3}\right).$$
