Упр.7 Раздел 6 ГДЗ Погорелов 10-11 класс по геометрии (Геометрия)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Погорелов 11 класс, Просвещение: B цилиндр вписана правильная шестиугольная призма. Найдите угол между диагональю ее боковой грани и осью цилиндра, если радиус основания равен высоте цилиндра.

Боковая грань правильной шестиугольной призмы — квадрат. Обозначим через $$A$$ и $$B$$ соседние вершины нижнего основания, а через $$C$$ и $$D$$ — соответствующие им вершины верхнего основания. Тогда диагональ боковой грани — это $$AB_1$$, а угол между этой диагональю и осью цилиндра равен углу между диагональю боковой грани и вертикальным ребром призмы.

Так как призма правильная и вписана в цилиндр, её основание — правильный шестиугольник, вписанный в окружность основания цилиндра. Для правильного шестиугольника, вписанного в окружность радиуса $$r$$, сторона равна $$r$$. Значит,

$$AB=r.$$

По условию радиус основания цилиндра равен его высоте, то есть

$$h=r.$$

Рассмотрим прямоугольный треугольник, образованный диагональю боковой грани, её вертикальной стороной и проекцией диагонали на основание. Тогда для искомого угла $$x$$

$$\tan x=\frac{AB}{h}=\frac{r}{r}=1.$$

Следовательно,

$$x=45^\circ.$$

Ответ

$$45^\circ$$