Упр.7 Раздел 6 ГДЗ Погорелов 10-11 класс по геометрии (Геометрия)

В цилиндр вписана правильная шестиугольная призма. Найдите угол между диагональю ее боковой грани и осью цилиндра, если радиус основания равен высоте цилиндра.

Боковая грань правильной шестиугольной призмы — квадрат. Обозначим через $$A$$ и $$B$$ концы диагонали боковой грани, а через $$O$$ и $$O_1$$ — центры оснований цилиндра.

Так как призма вписана в цилиндр, её основание — правильный шестиугольник, вписанный в окружность основания цилиндра. Поэтому сторона шестиугольника равна радиусу окружности, то есть

$$AB_{\text{осн}}=r.$$

Поскольку высота цилиндра равна радиусу основания, то высота призмы тоже равна $$r$$. Значит, боковая грань призмы — квадрат со стороной $$r$$.

Рассмотрим прямоугольный треугольник, образованный диагональю боковой грани и её проекцией на основание. Тогда

$$\tan x=\frac{r}{r}=1,$$

откуда

$$x=45^\circ.$$

Ответ: $$45^\circ$$.