Упр.7 Раздел 3 ГДЗ Погорелов 10-11 класс по геометрии (Геометрия)
- Через вершину $$A$$ прямоугольника $$ABCD$$ проведена прямая $$AK$$, перпендикулярная его плоскости. Расстояния от точки $$K$$ до других вершин прямоугольника равны 6 м, 7 м и 9 м. Найдите отрезок $$AK$$.
Так как $$AK \perp (ABCD),$$ то прямая $$AK$$ перпендикулярна любой прямой плоскости прямоугольника, проходящей через точку $$A$$. В частности,
$$AK \perp AB,\quad AK \perp AD,\quad AK \perp AC.$$
Обозначим расстояния от точки $$K$$ до вершин прямоугольника: $$KB=7$$ м, $$KD=6$$ м, $$KC=9$$ м.
Рассмотрим прямоугольный треугольник $$KBC$$. Так как $$BC \perp AB$$, а $$AB$$ — проекция наклонной $$KB$$ на плоскость $$ABCD$$, то по теореме о трёх перпендикулярах $$KB \perp BC$$. Значит, в треугольнике $$KBC$$ угол при $$B$$ прямой, и по теореме Пифагора:
$$BC=\sqrt{KC^2-KB^2}=\sqrt{9^2-7^2}=\sqrt{81-49}=\sqrt{32}.$$
Так как $$ABCD$$ — прямоугольник, то $$BC=AD$$. Теперь рассмотрим прямоугольный треугольник $$AKD$$:
$$AK=\sqrt{KD^2-AD^2}=\sqrt{6^2-32}=\sqrt{36-32}=\sqrt{4}=2.$$
Ответ: $$2\text{ м}$$.
