Упр.7 Раздел 2 ГДЗ Погорелов 10-11 класс по геометрии (Геометрия)

Задача

Через конец $$A$$ отрезка $$AB$$ проведена плоскость. Через конец $$B$$ и точку $$C$$ этого отрезка проведены параллельные прямые, пересекающие плоскость в точках $$B_1$$ и $$C_1$$. Найдите длину отрезка $$BB_1$$, если:
1) $$CC_1 = 15\ \text{см}$$, $$AC : BC = 2 : 3$$;
2) $$CC_1 = 8{,}1\ \text{см}$$, $$AB : AC = 11 : 9$$;
3) $$AB = 6\ \text{см}$$, $$AC : CC_1 = 2 : 5$$;
4) $$AC = a$$, $$BC = b$$, $$CC_1 = c$$.

Подробный ответ

Рассмотрим треугольники $$\triangle ABB_1$$ и $$\triangle ACC_1$$. У них $$\angle A$$ — общий, а $$\angle B=\angle C$$ как соответственные углы при параллельных прямых $$BB_1$$ и $$CC_1$$ и секущей $$AB$$. Значит,

$$\triangle ABB_1 \sim \triangle ACC_1,$$

откуда

$$\frac{AB}{AC}=\frac{BB_1}{CC_1}, \qquad BB_1=\frac{AB\cdot CC_1}{AC}.$$

$$CC_1=15\text{ см}, \quad AC:BC=2:3.$$
Тогда $$AB=AC+BC$$, а значит
$$\frac{AB}{AC}=\frac{AC+BC}{AC}=1+\frac{BC}{AC}=1+\frac{3}{2}=\frac{5}{2}.$$
Следовательно,
$$BB_1=\frac{5}{2}\cdot 15=37{,}5\text{ см}.$$
$$CC_1=8{,}1\text{ см}, \quad AB:AC=11:9.$$
Тогда
$$BB_1=\frac{AB}{AC}\cdot CC_1=\frac{11}{9}\cdot 8{,}1=9{,}9\text{ см}.$$
$$AB=6\text{ см}, \quad AC:CC_1=2:5.$$
Из отношения $$AC:CC_1=2:5$$ получаем
$$\frac{CC_1}{AC}=\frac{5}{2}.$$
Тогда
$$BB_1=\frac{AB\cdot CC_1}{AC}=6\cdot \frac{5}{2}=15\text{ см}.$$
$$AC=a,\quad BC=b,\quad CC_1=c.$$
Так как $$AB=AC+BC=a+b,$$ то
$$BB_1=\frac{AB\cdot CC_1}{AC}=\frac{(a+b)c}{a}.$$