Упр.7 Раздел 9 ГДЗ Погорелов 10-11 класс по геометрии (Геометрия)
Докажите, что медиана треугольника не меньше его биссектрисы, проведенной из той же вершины.
Пусть в треугольнике стороны, прилежащие к рассматриваемой вершине, равны $$b$$ и $$c$$, а противолежащая сторона равна $$a$$. Обозначим через $$m_a$$ медиану, проведённую из этой вершины, а через $$l_a$$ — биссектрису.
Из известных формул имеем:
$$m_a=\frac12\sqrt{2b^2+2c^2-a^2},$$
$$l_a=\frac{\sqrt{bc\bigl((b+c)^2-a^2\bigr)}}{b+c}.$$
Докажем, что $$m_a\ge l_a$$. Предположим противное: $$m_a<l_a$$. Тогда
$$\frac12\sqrt{2b^2+2c^2-a^2}<\frac{\sqrt{bc\bigl((b+c)^2-a^2\bigr)}}{b+c}.$$
Возведём обе части в квадрат:
$$\frac14\bigl(2b^2+2c^2-a^2\bigr)<\frac{bc\bigl((b+c)^2-a^2\bigr)}{(b+c)^2}.$$
После преобразований получаем
$$2(b^2-c^2)^2-a^2(b-c)^2<0,$$
то есть
$$2(b-c)^2(b+c)^2<a^2(b-c)^2.$$
Если $$b\ne c$$, то можно сократить на $$\,(b-c)^2$$ и получить
$$2(b+c)^2<a^2,$$
откуда $$b+c<a$$, что противоречит неравенству треугольника.
Если же $$b=c$$, то медиана и биссектриса из этой вершины совпадают, значит $$m_a=l_a$$.
Следовательно, в любом случае
$$m_a\ge l_a.$$
Ответ: медиана треугольника не меньше биссектрисы, проведённой из той же вершины.
